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4- Rayonnement acoustique d’une enceinte

Cet article fait suite à l’étude du haut-parleur électroacoustique. Nous verrons ici ce qu’il advient de ses propriétés et de son rayonnement lorsqu’il est intégré dans un caisson pour réaliser une enceinte.

Enceinte close

Variations de pression dans le caisson

Nous avons vu que l’émission en opposition de phase de la face arrière de la membrane créait des interférences destructives néfastes, en particulier dans le domaine des basses fréquences. L’intégration du haut-parleur dans un caisson a pour objectif d’éviter ce court-circuit acoustique : le rayonnement arrière est en effet supprimé.

Enceinte close : haut parleur de surface S intégré dans un caisson de volume V_0

Soit V_0 le volume du caisson, enfermant de l’air à la pression atmosphérique P_0. Le volume d’air contenu dans le caisson étanche varie en fonction du déplacement de la membrane du haut-parleur de surface S : lorsque l’élongation de la membrane est x, le volume d’air est V=V_0 + \Delta V avec \Delta V = S \cdot x. L’air subit ainsi des successions de compressions et de dilatations au cours des vibrations de la membrane.

Si on suppose, comme d’habitude, que ces transformations sont adiabatiques, il résulte de la loi de Laplace :

\displaystyle{ \frac{ \text d}{\text d V} \left( P\cdot V^\gamma \right) = 0 \iff \frac{ \text{d}P}{\text{d}V} = - \frac{\gamma P}{V} }

Ainsi, si le volume \Delta V balayé par la membrane reste petit devant le volume total du caisson V_0, la surpression résultante peut s’écrire :

\displaystyle{ p = - \frac{\gamma P_0}{V_0} \Delta V = - \frac{\gamma P_0}{V_0} S x }

Équation mécanique

Prenons pour guide l’application de la deuxième loi de Newton au haut-parleur vue précédemment, nous avions obtenu comme équation mécanique du haut-parleur :

(m + 2m_\text{R}) \cdot \ddot{x} + (\alpha + 2R_\text{R}) \cdot \dot{x} + k \cdot x = Bl \cdot i

Deux modifications doivent être réalisés dans la configuration de l’enceinte close :

  • D’une part, le rayonnement arrière ayant été supprimé, le facteur la résistance de rayonnement R_\text{R}[/latex disparaissent.
  • D’autre part, la surpression p de l’air enfermé dans le caisson ajoute une force F dont l’expression est, d’après le résultat du paragraphe précédent : F = p\cdot S = - \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} x
    Cette expression est celle d’une force de rappel F = - k_\text{a} \, x, avec k_\text{a} = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} la raideur du volume d’air contenu dans le caisson.

Dans l’hypothèse où la surface de la membrane est petite en comparaison de la surface du panneau avant du caisson, la masse d’air déplacée à l’arrière de la membrane est sensiblement égale à celle déplacée à l’avant. La masse totale de l’équipage mobile restera donc m+2m_R

L’équation mécanique du haut-parleur monté dans un caisson est donc :

\displaystyle{ \boxed{ (m + 2m_\text{R}) \cdot \ddot{x} + (\alpha + R_\text{R}) \cdot \dot{x} + \left( k + k_\text{a} \right) \cdot x = Bl \cdot i }}

Le comportement du haut-parleur monté en enceinte close se déduit donc de celui du haut-parleur monté sur un baffle plan infini par les substitutions :

  • 2R_\text R \rightarrow R_\text R
  • k \rightarrow k_\text{b} = k + k_\text a avec k_\text a = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0}

Nous utiliserons l’indice b (comme “box”) pour toutes les grandeurs relatives au haut-parleur monté dans un caisson.

Nouvelle fréquence de résonance

En suivant la démarche que nous avions emprunté pour le haut parleur monté sur un baffle plan, on aboutit au schéma électrique équivalent du haut parleur monté dans un caisson :

Schéma électrique équivalent d’une enceinte close

La résistance et la capacité motionnelles sont inchangées, mais l’inductance motionnelles subit une modification :

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} C_{\text{m,b}} = \frac{m +2m_\text{R}}{(Bl)^2}\\ R_{\text{m,b}} = \frac{(Bl)^2}{\alpha} \\ L_{\text{m,b}} = \frac{(Bl)^2}{k_\text b} \end{array}\right.}

Il s’ensuit que la résonance du circuit motionnel R,L,C en parallèle se produira à la pulsation :

\displaystyle{\left( \frac{\text{d}\underline{Z}_\text{mot}}{\text{d}\omega}\right)_{\omega=\omega_b} = 0 \iff \omega_b = \frac{1}{\sqrt{L_{\text{m,b}} \cdot C_{\text{m,b}}}} = \sqrt{\frac{k_b}{m + 2m_\text{R}}}}

Le numérateur de l’expression est plus grand que dans le cas d’un montage sur baffle plan, et le dénominateur est le même : la fréquence de résonance du haut-parleur est donc augmentée lors de son installation dans un caisson.

Le haut-parleur monté dans un caisson aura donc une fréquence de coupure dans les basses plus élevée.

La perte d’émission dans les graves sera d’autant plus marquée que la raideur k_\text a de l’air contenu dans le caisson sera importante, celle ci augmentant lorsque le volume V_0 du caisson diminue.La fréquence de coupure du haut-parleur sera multipliée par /sqrt(2) lorsque k_\text a = k. Ce seuil donne l’ordre de grandeur du volume minimal du caisson à utiliser.

Il est d’usage d’introduire ici le volume d’air équivalent à la suspension V_\text{as}, généralement publié dans les données constructeur des haut-parleurs. La raideur k du haut-parleur serait obtenue avec un volume d’air

\boxed{ \displaystyle{ V_\text{as} = \frac{\gamma P_0 S^2}{k} }}

Pour monter un haut-parleur en enceinte close sans trop augmenter la fréquence de coupure, il faudra donc un volume de caisson au moins quelques fois supérieur à V_\text{as}.

Illustrons ces propos par un exemple numérique. Rappelons les données constructeur du haut-parleur Monacor SP-165PA que nous avions pris en exemple dans l’article précédent :

  • Surface efficace de la membrane S = 137\times10^{-4}\,\text{m}^2
  • Masse de l’équipage mobile (bobine + membrane) m = 8,2\times10^{-3} \,\text{kg})
  • Raideur de la suspension élastique k = 4,0\times 10^{3} \,\text{N}\,\text{m}^{-1})
  • Résistance mécanique de la suspension \alpha= 1,2 \,\text{kg}\,\text{s}^{-1}
  • Résistance de la bobine R_e = 6.9\,\Omega
  • Inductance de la bobine L_e= 0,50 \times10^{-3} \,\text{H}
  • Facteur de force Bl = 7,1 \,\text{T}\,\text{m}

On a pour ce haut-parleur \displaystyle{ V_\text{as} = 6,6 \,\text{L} }. Si on choisit de le monter dans un caisson de volume V_0=20\,\text{L} \approx 3 V_\text{as}, on aura : k_\text a = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} = 1,3 \times 10^3 \,\text{N}\,\text{m}^{-1}

La raideur totale sera : k_\text b = k + k_\text a = 5,3 \times 10^3 \,\text{N}\,\text{m}^{-1}

Et la pulsation de résonance : \omega_\text b = \sqrt{\frac{k_b}{m + m_\text{R}}} = 730 \, \text{rad} \, \text{s}^{-1} = 1,2 \, \omega_0

La fréquence de coupure aura ainsi augmenté de 20%, passant de 96 à 116 Hz.

Rayonnement acoustique

Le schéma acoustique équivalent au haut-parleur monté dans un caisson est :

Schéma acoustique équivalent à un haut parleur monté dans un caisson
  • Pression excitatrice \underline{p}_g=\underline{P}_g \exp (j\omega t) avec \underline{P}_g = \frac{(Bl)\cdot\underline{U}}{S\cdot R_e}, exprimée en Pascals.
  • Débit \underline{q} = \underline{Q} \exp (j\omega t), en \text{m}^3/\text{s}
  • Résistances acoustiques, en \text{Pa}\cdot\text{s}/\text{m}^3:
    • R_{ae}=\frac{(Bl)^2}{S^2 R_e} (pertes électriques dans la bobine)
    • R_{ab}=\frac{\alpha}{S^2} (pertes par frottements)
  • La compliance acoustique en \text{m}^3/\text{Pa} : C_{ab}=\frac{S^2}{k_b}.
  • La masse acoustique en \text{kg}/\text{m}^4 : M_{ab}=\frac{m + m_\text{R}}{S^2}
  • Résistance acoustique de rayonnement avant R_{ar}=\frac{R_\text{R}}{S^2}

Posons :

  • \delta = \frac{\omega_b}{\omega_s} = 1,2 ;
  • Q_{eb} =\omega_b C_{ab}R_{ae}  le facteur de qualité électrique ;
  • Q_{mb} =\omega_b C_{ab}R_{ab}  le facteur de qualité mécanique ;
  • Q_{tb}   le facteur de qualité total tel que \frac{1}{Q_{tb}} = \frac{1}{Q_{eb}} + \frac{1}{Q_{mb}} .

Reprenons l’exemple du Monacor déjà étudié, monté dans un caisson de 20 L :

Montage sur baffle planMontage dans caisson de 20 L
\omega_s = 606 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1}\omega_b = \delta \omega_s = 760 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1}
Q_\text{es} = 1,1Q_{eb}=1,0
Q_\text{ms} = 5,0Q_\text{mb} = 4,5
Q_\text{ts} = 0,91Q_\text{tb} = 0,82

Les facteurs de qualité diminuent en intégrant le haut-parleur dans un caisson, et ce d’autant plus que le volume du caisson est petit.

L’expression du débit, obtenue en suivant la démarche exposée dans l’article précédent, est alors :

\displaystyle{ \underline{Q}_b = \frac{j\delta \nu}{( j \delta \nu)^2 +\frac{j \delta \nu}{Q_{tb}} + 1} \cdot \omega_b C_{ab} \underline{P}_g }

\nu = \frac{\omega}{\omega_s} est la pulsation réduite définie par rapport à la pulsation de résonance du haut-parleur monté en baffle plan.

Le deuxième terme, suivant la fonction de transfert du débit, peut s’écrire en fonction des valeurs du haut-parleur monté en baffle plan :

\omega_b C_{ab} \underline{P}_g = \frac{ \omega_s C_{as}}{\delta} \underline{P}_g

La puissance rayonnée est alors obtenue de la même manière que pour un baffle plan :

\displaystyle{ \boxed{ \mathcal{P}_{ar,b} = \frac{\rho_0}{4\pi c} \left( \frac{\omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g}{\delta^2} \right) ^2 \left|\underline{H}_{P,b}\right|^2} \hspace{1cm} \text{avec} \hspace{1cm} \boxed{\underline{H}_{P,b} = \frac{\delta^2\nu^2}{( j\delta\nu)^2 +\frac{j\delta\nu}{Q_{tb}} + 1} }}

La valeur maximale de la puissance rayonnée est ainsi divisée par \delta^4 par rapport au même haut-parleur monté en baffle plan. Afin d’optimiser la fréquence de coupure dans les basses et le niveau sonore, on aura donc tout intérêt à placer le haut-parleur dans un caisson de volume suffisamment grand pour que \delta soit proche de 1. La figure ci-dessous permet de comparer la puissance rayonnée par le Monacor en baffle plan et en caisson de 20L pour une même tension imposée :

Caisse ouverte à l’arrière

Les amplificateurs à lampes utilisés dans les radios que nous restaurons interdisaient de facto l’utilisation d’une enceinte fermée : la chaleur dégagée par les lampes devait être évacuée au risque de griller l’ampli. La solution adoptée pour permettre une ventilation suffisante fut un panneau arrière ajouré et de faible densité, acoustiquement transparent.

Dans une telle géométrie, le court-circuit acoustique se trouve diminué mais n’est pas supprimé. Afin d’illustrer l’effet du caisson, nous ferons l’étude en champ lointain, dans l’axe du haut parleur. Les notations utilisées sont indiquées sur la figure ci-dessous, on étudie la courbe de réponse dans l’axe en champ lointain \left( x=L , y \to - \infty \right).

En vertu du principe d’Huygens-Fresnel, l’onde arrière parvenant au point \left( x=0, \, y=h > d \right) se comportera comme une source secondaire émettant une onde sphérique.

La pression résultante au point d’écoute sera la somme de l’onde avant émise par le haut-parleur et des ondes diffractées émise en opposition de phase à l’arrière du haut-parleur par toutes les sources secondaires, en x=0 et x=2L.