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Principe d’un haut-parleur électro-acoustique

vue éclatée d'un haut-parleur

Cet article aborde la problématique de la production d’ondes sonores. Nous utiliserons le principe de l’induction électromagnétique et un peu de mécanique pour comprendre le fonctionnement d’un haut-parleur électrodynamique. Le modèle que nous dresserons, bien qu’un peu grossier, nous permettra d’isoler les grandeurs physiques importantes et de discuter de l’ordre de grandeur de leurs valeurs.

Equation mécanique

Force de Lorentz

Une particule chargée, de charge q, plongée dans un champ électrique \vec{E} subit la force électrique \vec{F_e}=q \cdot \vec{E}. Cette force est colinéaire au champ électrique et a même sens que lui si la particule est chargée positivement.

Une particule chargée, de charge q en muvement à la vitesse \vec{v}, plongée dans un champ magnétique \vec{B} subit la force magnétique \vec{F_m}=q\vec{v} \land \vec{B}, où le symbole \land désigne le produit vectoriel. La direction résultante de \vec{F_m} est donnée par la règle de la main droite (voir figure).

Règle de la main droite

En sommant ces deux forces, on obtient la force de Lorentz qui s’exerce sur une particule chargée plongée dans un champ électromagnétique :

\vec{F}=q \cdot (\,\vec{E} + \vec{v} \land \vec{B})\,

Force de Laplace exercée sur un conducteur

Soit circuit électrique filiforme, parcouru par un courant I, en mouvement dans un champ électromagnétique (\, \vec{E},\,\vec{B} )\, à la vitesse \vec{V}.

Toutes les particules chargées du conducteur (ions métalliques et électrons libres) sont soumises à la force de Lorentz.

Pour les ions métalliques, de charge positive, e correspondant à la charge élémentaire :

\vec{F}_{ion}=e \cdot (\,\vec{E} + \vec{V} \land \vec{B})\,

Pour les électrons libres, de charge opposée en mouvement à la vitesse \vec{u} dans le circuit :

\vec{F}_{elec}=-e \cdot (\,\vec{E} + (\,\vec{V} + \vec{u})\,\land \vec{B})\,

Il y a autant d’ions métalliques que d’électrons libres, toutes les contributions s’annulent sauf celle due à la vitesse propre des électrons dans le circuit. La force exercée globalement sur le circuit, appelée force de Laplace, est donc la somme de toutes les forces \vec{f}=-e \vec{u}\land \vec{B} exercées sur chacun des électrons libres.

Cas particulier de la bobine d’un haut-parleur

Pour simplifier la suite, plaçons-nous d’ores et déjà dans la géométrie qui nous intéresse pour l’étude du haut parleur. Le conducteur est une bobine de fil plongée dans un champ magnétique radial :

D’après la règle de la main droite, pour un courant circulant dans le sens trigonométrique (et donc des électrons circulant dans le sens horaire) toutes les forces à sommer sont donc colinéaire à l’axe central du dispositif, dirigées suivant les x décroissants. Il nous reste à sommer les contributions \vec{f}=-e\cdot u\cdot B \cdot \vec{e}_x pour chacun des électrons libres (\vec{e}_x est le vecteur unitaire portant l’axe x).

Combien y-a-t-il d’électrons libres dans cette bobine ? Le courant étant le débit de charges, il y a n=I/e électrons qui traversent une section du circuit en une seconde. Les derniers à la traverser sont ceux qui étaient situés à une distance \delta = u \times 1\,\text{s} une seconde auparavant. Si l est la longueur totale du fil, il y en a donc \frac{l}{\delta} fois plus : il y a en tout N = n \cdot \frac{l}{\delta}=\frac{I \cdot l}{u\cdot e} électrons libres. La force de Laplace exercée sur la bobine est finalement :

\vec{F}_L=N \cdot \vec{f}=\frac{I \cdot l}{u\cdot e} \cdot (\,-e)\,\cdot u\cdot B \cdot \vec{e}_x=-I \cdot l \cdot B \cdot \vec{e}_x

Si la bobine est parcourure par un courant d’intensité constante i, la force de Laplace exercée sur elle sera donc constante elle aussi. Mais si, maintenant, on impose un courant variable i dans la bobine, on voit que la force de Laplace sera elle aussi variable : elle poussera la bobine tantôt à gauche (lorsque le courant est positif) et tantôt à droite (lorqu’il est négatif). L’effet sera donc de faire vibrer la bobine autour de sa position d’équilibre.

Si on parvenait à transmettre ces vibrations à l’air, on aurait créé un haut-parleur.

Haut-parleur

Pour cela, fixons sur l’aimant une structure rigide qu’on appelle saladier. Tendons maintenant une membrane de faible masse entre la bobine et le saladier, la fixation sur le saladier étant élastique.

Lorsque la bobine vibrera autour de sa position d’équilibre sous l’effet de la force de Laplace générée par un courant alternatif i, elle entraînera dans son mouvement la membrane qui à son tour fera vibrer l’air.

Principe fondamental de la dynamique

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au système {bobine + membrane} de masse m dans le référentiel de l’aimant : m \cdot \vec{a} = \Sigma\, \vec{F}_\text{ext}.

Les forces exercées le long de l’axe x sont :

  • la force de rappel -k\cdot x due à la fixation élastique qui ramène le système vers sa position d’équilibre ;
  • une force dissipative proportionnelle à la vitesse du système -\alpha \cdot v_x = -\alpha \cdot \dot{x}, due notamment au rayonnement d’énergie acoustique ;
  • la force de Laplace -i \cdot l \cdot B exercée sur la bobine.

On obtient donc l’équation différentielle relative à la position de la bobine (équation mécanique du haut-parleur) :

m \cdot \ddot{x} = -k \cdot x - \alpha \cdot \dot{x} - i \cdot l \cdot B

\iff \, m \cdot \ddot{x} + \alpha \cdot \dot{x} + k \cdot x = - l \cdot B \cdot i

Le système obéit donc à l’équation d’un oscillateur amorti dont les oscillations sont forcées par le terme de droite. Nous analyserons ce résultat en détail un peu plus tard, il nous faut tout d’abord établir l’équation électrique du haut-parleur.

Equation électrique

Force électromotrice induite

Lorsqu’un circuit est mobile dans un champ magnétique, la force magnétique exercée sur les électrons libres va les mettre en mouvement : un courant induit apparaît spontanément dans le circuit. On appelle force électromotrice u_\text{ind} la différence de potentiel expliquant l’apparition du courant électrique. Nous établirons dans ce paragraphe l’expression de la f.e.m. induite dans la bobine d’un haut parleur en mouvement dans le champ magnétique de l’aimant.

Dans le référentiel de l’aimant, il règne dans l’entrefer un champ magnétique \vec{B} radial. Lorsque la bobine est en mouvement à la vitesse \vec{V}, les électrons libres subissent une force de Lorentz \vec{F}=-e \cdot \vec{V} \land \vec{B}. D’après la règle de la main droite, cette force aura tendance à mettre les électrons en mouvement dans le sens horaire, et donc à générer un courant positif dans la bobine. En appelant \vec{u} le vecteur unitaire dirigé en chaque point de la bobine dans le sens d’une intensité positive : \vec{F}=-e \cdot V \cdot B \cdot \vec{u}.

Plaçons nous maintenant dans le référentiel de la bobine : on vient de voir que des électrons initialement immobiles se mettront en mouvement dans le sens horaire. Ils sont donc soumis à l’effet d’un champ électrique \vec{E}' qui s’écrit, par définition :

\vec{E}' = \frac{\vec{F}}{q} = \frac{-e \cdot V \cdot B \cdot \vec{u}}{-e}= V \cdot B \cdot \vec{u}

Il suffit de se rappeler que le champ électrique s’exprime en \text{V} \cdot \text{m}^{-1} pour comprendre que la force électromotrice u_\text{ind}, tension induite entre les deux extrémités de la bobine, s’obtiendra en le multipliant par la longueur totale de fil dans la bobine :

u_\text{ind}=l \cdot V \cdot B

Loi des mailles

Soit u(\,t)\, la tension imposée entre les deux fils de connexion du haut-parleur, R la résistance de la bobine et L son inductance, et u_\text{ind}(\,t)\,=l \cdot V \cdot B = l \cdot B \cdot \dot{x} la force électromotrice induite par le mouvement de la bobine dans l’entrefer de l’aimant. La loi des mailles donne :

u(\,t)\, + u_\text{ind}(\,t)\, = u_R + u_L \, \iff \, R \cdot i + L \cdot \frac{\text{d}i}{\text{dt}} = u(\,t)\, + l \cdot B \cdot \dot{x}

Cette équation est appelée équation électrique du haut-parleur. Elle est donc, sans surprise, l’équation d’un circuit R,L en régime forcé, mais la tension forçant le circuit contient deux termes : la tension imposée et la f.e.m. due à la vitesse de la bobine.

Impédance

Solution en régime sinusoïdal forcé

Un haut-parleur est donc régi par deux équations :

\left\{ \begin{array}{ll} m \cdot \ddot{x} + \alpha \cdot \dot{x} + k \cdot x = - l \cdot B \cdot i \\ R \cdot i + L \cdot \frac{\text{d}i}{\text{dt}} = u(\,t)\, + l \cdot B \cdot \dot{x} \end{array}\right.

Ces deux équations sont couplées, puisque l’équation mécanique contient la variable électrique i et que l’équation électrique contient la variable mécanique x. Les coefficients de couplage sont respectivement - l \cdot B et l \cdot B : ils sont opposés.

Recherchons des solutions particulières de ces équations en imposant un régime sinusoïdal. Un son plus complexe sera décrit par un ensemble de fréquences, et donc par une somme de sinusoïdes.Imposons donc dans l’équation mécanique une intensité sinusoïdale \underline{i}=\underline{I} \cdot \exp{(\,j \omega t)\,}. Nous utilisons ici la notation complexe expliquée dans l’article précédent sur les ondes sonores.

Injectons maintenant dans l’équation une solution sinusoïdale pour x, c’est à dire une solution s’écrivant sous la forme \underline{x}=\underline{X} \cdot \exp{(\,j \omega t)\,}. On obtient :

(\,- m \omega ^2 + j \omega \alpha + k)\, \cdot \underline{X} = - l \cdot B \cdot \underline{I}

En opérant de la même manière pour l’équation électrique :

\underline{U} + l \cdot B \cdot \underline{\dot{X}}= \left( R + j \omega L \right) \underline{I}

Eliminons \underline{X} de la deuxième équation en utilisant la première :

\underline{\dot{X}} = \frac{- j \cdot \omega \cdot l \cdot B}{- m \omega ^2 +j \omega \alpha + k} \cdot \underline{I}

\underline{U} = \left( R + j \omega L + \frac{j \cdot \omega \cdot l^2 \cdot B^2}{- m \omega ^2 +j \omega \alpha + k}\right) \underline{I}

Où l’impédance \underline{Z} = \underline{U} / \underline{I} apparaît :

\underline{Z} = R + j \omega L + \frac{j \cdot \omega \cdot l^2 \cdot B^2}{- m \omega ^2 +j \omega \alpha + k}

Le terme R + j \omega L est l’impédance électrique classique d’une bobine, le deuxième terme est dû au mouvement de la bobine dans le champ magnétique de l’aimant et est appelé impédance motionnelle :

\underline{Z}_{\text{mot}} = \frac{j \cdot \omega \cdot l^2 \cdot B^2}{- m \omega ^2 +j \omega \alpha + k}

Circuit électrique équivalent

Remarquons maintenant que l’impédance motionnelle peut s’écrire :

\underline{Z}_{\text{mot}} = \frac{1}{\frac{j \omega m}{(Bl)^2} + \frac{\alpha}{(Bl)^2} +\frac{k}{j \omega (Bl)^2}}

Soit :

\frac{1}{\underline{Z}_{\text{mot}}} = \frac{1}{\frac{1}{j\omega C_m} }+ \frac{1}{R_m} + \frac{1}{j \omega L_m}

avec

\left\{ \begin{array}{ll} C_{\text{mot}} = \frac{m}{(Bl)^2}\\ R_{\text{mot}} = \frac{(Bl)^2}{\alpha} \\ L_{\text{mot}} = \frac{(Bl)^2}{k} \end{array}\right.

On reconnait ainsi l’association en parallèle d’un condensateur de capacité C_{\text{mot}}, d’un résistor de résistance R_{\text{mot}} et d’une bobine d’inductance L_{\text{mot}}.

Prenons un instant pour comprendre l’origine physique de ces trois effets. La masse en mouvement permet le stockage d’énegie (du fait de l’inertie) comme un condensateur stocke de l’énergie électrique par accumulation. Les forces de frottement dissipent de l’énergie comme le fait une résistance par effet Joule. Enfin, la raideur du ressort permet, par la force de rappel, le stockage d’énergie élastique, comme une bobine stocke de l’énergie sous forme magnétique lorsqu’un courant la traverse.

Le schéma électrique équivalent d’un haut-parleur est finalement :

La résonance du circuit motionnel R_{\text{mot}}, \, L_{\text{mot}} , \, C_{\text{mot}} en parallèle se produit à la pulsation

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_{\text{mot}} \cdot C_{\text{mot}}}} = \sqrt{\frac{k}{m}}.