Publié le Laisser un commentaire

1- Fondamentaux d’acoustique

Ondes sonores

Propagation d'une onde sonore - animation

Production d’une onde sonore

Lorsqu’un corps (pour nous, la membrane d’un haut-parleur) vibre en un point d’un milieu (pour nous, l’air), cette vibration est transmise aux autres points, de proche en proche, par contact. Il en résulte une propagation de la vibration dans le milieu, appelée onde.

propagation d'une onde sonore

À gauche de la figure, le haut-parleur est animé d’un mouvement régulier de va-et-vient, de période T et de fréquence f=1/T (nombre de périodes pas seconde). Lorsqu’il se déplace vers la droite, sa membrane pousse l’air en créant une surpression (elle “tasse” les molécules d’air). En se déplaçant ensuite vers la gauche, il crée une dépression (le vide laissé par la membrane “aspire” les molécules environnantes).

Chaque point du milieu reproduit au passage de l’onde la vibration générée par la membrane du haut-parleur, avec un certain retard \tau . Celui-ci dépend de la distance AB séparant les points et de la vitesse de propagation c de l’onde dans le milieu :

\tau = \frac{AB}{c}

Il s’ensuit la propagation d’une onde sonore qui va pouvoir mettre en mouvement une autre membrane, plus loin: le tympan de l’auditeur. L’oreille humaine est susceptible de détecter des féquences allants de 20 Hz à 20 kHz. La vitesse à laquelle la vibration se propage dépend des propriétés de l’air (température, humidité, masse volumique), mais elle vaut environ c \approx 340 \, \text{m/s}.

La courbe représentée au-dessus de la figure donne l’allure de la pression de l’air le long du parcours de l’onde (rappelons ici que l’unité internationale de la pression est le Pascal \text{Pa}. Dans cet exemple, elle correspond au cas le plus simple et le plus important de la physique des ondes : c’est une onde sinusoïdale.

Longueur d’onde

La pression le long de l’axe de propagation d’une onde sinusoïdale est périodique (elle est décrite par un motif qui se répète), la longueur de ce motif est appelée longueur d’onde et notée \lambda :

Longueur d'onde

La longueur d’onde est la distance entre deux crêtes sur la courbe. Il est clair qu’elle correspond donc à la distance parcourue par la perturbation pendant une période de l’onde. On a ainsi :

\lambda = c \cdot T = \frac{c}{f}

On peut maintenant déterminer les longueurs d’onde extrêmes détectables dans l’air par l’oreille humaine :

  • Pour les sons les plus graves, f=20 \hspace{0.1cm} \text{Hz} et : \lambda_\text{grave} = \frac{340}{20}=17\,\text{m}
  • Pour les sons les plus aigus, f=20 \, \text{kHz} et : \lambda_\text{aigu} = \frac{340}{20\cdot 10^3}=17\cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}\text{m}=17\,\text{mm}

Equation d’onde

Nous noterons \rho_0 et P_0 la masse volumique et la pression de l’air en l’absence d’ondes sonores. Dans les conditions habituelles, on a \rho_0 = 1,18 \,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3} et P_0 = 1,01 \times 10^5 \,\text{Pa}.

Nous nous placerons dans tout ce cours dans le régime des faibles signaux. On considèrera ainsi que les variations de masse volumique et de pression sont faibles par rapport à ces valeurs :

\left\{ \begin{array}{ll} \rho = \rho_0 + \rho\prime \\ P = P_0 + p \end{array} \right. \hspace{2cm} \text{avec} \hspace{2cm} \left\{ \begin{array}{ll} \rho\prime \ll \rho_0 \\ p \ll P_0 \end{array} \right.

Cette simplification sera justifiée par la suite, lorsque nous verrons que les surpressions maximales auxquelles nous aurons affaire en acoustiques sont plusieurs milliers de fois inférieures à la pression atmosphérique.

Conservation de la masse

Considérons un volume infinitésimal d’air. La masse étant une grandeur conservée, la variation temporelle de sa masse volumique ne peut s’expliquer que par le flux de masse traversant sa surface. En ne conservant que les termes du premier ordre, on peut donc écrire :

\displaystyle{ \boxed{\frac{\partial \rho\prime}{\partial t} + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{u} = 0}}

\vec{u} désigne la vitesse de l’air et \vec{\nabla}\cdot \vec{u} sa divergence. En coordonnées cartésiennes : \vec{\nabla}\cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z}

Equation d’Euler

Schéma permettant d'établir l'équation des ondes sonores

Considérons une paroi plane de surface A, en rouge sur l’illustration, vibrant dans l’air de masse volumique \rho autour de sa position d’origine d’abscisse nulle. Dans les conditions habituelles, la masse volumique de l’air est \rho_0 = 1,18 \,\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}. Nous nous intéressons aux vibrations d’une tranche d’aire comprise, au repos, entre les abscisses x et x+\text{d}x. Sa masse est \rho_0 \cdot A \cdot \text dx.

Notons les déplacements subséquents des deux surfaces délimitant la tranche d’air \psi (x, t) et \psi (x + \text{d}x, t). L’épaisseur de la tranche d’air est \text dx au repos et \text dx + \psi (x + \text{d}x, t) - \psi (x, t) à l’instant t.

Les forces s’exerçant sur la tranche d’air sont les forces de pression exercées sur ses deux faces, la deuxième loi de Newton donne donc :

\displaystyle{\rho_0 \cdot A \cdot \text dx \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = A\cdot p(x) - A \cdot p(x+\text dx)}

u = \frac{\partial \psi}{\partial t} est la vitesse de l’air à l’abscisse x.

On obtient alors l’équation d’Euler (linéarisée) :

\displaystyle{\rho_0 \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{p(x+\text dx) - p(x)}{\text dx} }

\displaystyle{\iff \rho_0 \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x}}

La génaralisation à 3 dimensions est immédiate :

\displaystyle{\boxed{\rho_0 \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = - \vec{\nabla}p }}

\vec{\nabla}p représente le gradient de p. En coordonnées cartésiennes : \vec{\nabla}p = \frac{\partial p}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial p}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial p}{\partial z}\vec{e}_z

Equation de propagation

La vitesse de déplacement du gaz apparaît dans l’équation de la conservation de la masse et dans l’équation d’Euler. Pour s’en débarrasser, prenons la dérivée temporelle de la première et la divergence de la seconde :

\displaystyle{\frac{\partial^2 \rho\prime}{\partial t^2} + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} = 0}

\displaystyle{ \rho_0 \cdot \vec{\nabla} \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}p = 0 }

Soit :

\displaystyle{\frac{\partial^2 \rho\prime}{\partial t^2} + \Delta p = 0}

\Delta p désigne le laplacien de p. En coordonnées cartésiennes : \Delta p = \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial z^2}

Reste à relier entre elles pression et masse volumique. Il est clair que l’une dépend de l’autre. Dans l’approximation linéaire, un développement de Taylor au premier ordre donne :

\displaystyle{ P(\rho) = P(\rho_0) + (\rho - \rho_0) \left.\frac{\partial P}{\partial \rho} \right| _{\rho_0} }

\displaystyle{ \iff p = \rho\prime \left.\frac{\partial P}{\partial \rho} \right| _{\rho_0} }

La dérivée apparaissant dans le terme de droite a pour dimension M^2 T^{-2} : c’est le carré d’une vitesse. Nous posons alors c^2 \equiv \frac{\partial P}{\partial \rho}, nous obtenons p = \rho\prime \cdot c^2 et l’équation vérifiée par la pression s’écrit :

\displaystyle{ \boxed{ \Delta p + \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0 }}

Cette équation de propagation est l’équation fondamentale de l’acoustique linéaire.

Célérité des ondes acoustiques

La loi des gaz parfaits peut s’écrire P = \rho r T avec T la température en Kelvin et r = \frac{R}{M} = \frac{8,32}{0,029} = 287 \,\text{J }\,\text{kg}^{-1} \,\text{K}^{-1} est la constante spécifique de l’air (R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire de l’air)

Par ailleurs, les transformations subies par l’air en acoustique linéaire sont adiabatiques (elles sont trop rapides pour qu’un volume d’air puisse échanger de la chaleur avec son voisin). De telles transformations sont décrites par la loi de Laplace :

\displaystyle{ \frac{P}{\rho^\gamma} = \text{cte} }

\gamma = 1,4 pour l’air, gaz diatomique. Ainsi :

\displaystyle{ \frac{P}{(\rho_0 + \rho\prime)^\gamma} = \frac{P_0}{\rho_0^\gamma} =\frac{rT}{\rho_0^{\gamma -1}} }

Au premier ordre, on obtient :

\displaystyle{ P=rT\rho_0 \left( 1 + \gamma \frac{\rho\prime}{\rho_0} \right) }

Notre définition de la célérité donne :

c = \sqrt{\frac{\partial P}{\partial \rho}} = \sqrt{\gamma rT}

L’application numérique à 20°C donne 343 m/s, en bon accord avec les résultats expérimentaux.

Solution sinusoïdale : l’onde plane

Les solutions générales de l’équation d’onde s’écrivent : p(r,t)=p_+(t-\frac{r}{c}) + p_-(t+\frac{r}{c})

Le premier terme représente une onde se propageant dans le sens des r croissants et le second une onde se propageant dans le sens des r  décroissants.

La solution simple d’une onde plane se propageant dans le sens des x croissants s’écrit :

p(x,t) = p_0 \cdot \cos \left[\omega \left(t - \frac{x}{c} \right) + \phi \right] = p_0 \cdot \cos \left(\omega t - kx + \phi \right)

Ainsi, tous les points du milieu de même abscisse (i.e. situés dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation) sont dans le même état vibratoire. On vérifie facilement que cette fonction est bien solution de l’équation d’onde.

  • p_0 est l’amplitude de la perturbation ;
  • \omega = 2\pi f est la pulsation, f est la fréquence de vibration de la source ;
  • k = \omega/c = 2\pi / \lambda est le nombre d’onde, \lambda la longueur d’onde;
  • \phi est la phase à l’origine

La notation complexe des fonctions sinusoïdales est plus facile à manipuler dans les calculs (dériver et intégrer une exponentielle est trivial): \alpha = A \cos{X} \rightarrow \underline \alpha = A \exp{(j X)} = A \cos X + j A \sin X. Le module |\alpha| = A correspond à l’amplitude, et son argument X à la phase du cosinus.

Notons \underline\alpha^* = A \exp{(-jX)} = A \cos X - j A \sin X le complexe conjugué de \underline\alpha. La partie réelle de \underline\alpha est alors : \alpha = \Re (\underline{\alpha}) = \frac{1}{2} (\underline{\alpha} + \underline{\alpha}^*)

La notation complexe de la surpression est :

\underline{p}(x,t) = \underline{p}_0 \cdot \text{exp} \left[ j \left( \omega t - k x \right) \right]

avec \underline{p}_0 = p_0 \cdot \exp{(j \phi)} l’amplitude complexe.

L’équation d’Euler nous permet d’en déduire la vitesse de déplacement du fluide :

\displaystyle{ \rho_0 \cdot \frac{\partial \underline{u} }{\partial t} = - \frac{\partial \underline{p} }{\partial x}\iff j \omega \rho_0 \underline{u} = jk \underline{p}\iff \underline{u} = \frac{\underline{p}}{\rho_0c}}

Notons ici que la vitesse est en phase avec la surpression.

Pression acoustique efficace

La pression acoustique efficace p_\text{eff} se calcule comme on calcule la tension efficace d’une source alternative, c’est la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la surpression :

p_\text{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \Re(\underline{p})^2 \,\text{d}t}

On a donc : p_\text{eff}^2=\frac{1}{4T} \int_{0}^{T} (\underline{p} + \underline{p}^*)^2 \,\text{d}t = \frac{1}{4T} \int_{0}^{T} (\underline{p}^2 + \underline{p}^{*2} + 2 \underline{p}\underline{p}^*) \,\text{d}t

Les deux premiers termes sont des sinusoïdes de pulsation 2\omega : leur valeur moyenne sur une période est nulle. Le dernier terme est lui indépendant du temps, il sort de l’intégrale et l’intégrale restante, triviale, vaut T. Finalement :

\displaystyle{ \boxed{ p_\text{eff}=\sqrt{\frac{\underline{p}\underline{p}^*}{2}} }}

Dans le cas d’une onde plane, on obtient :

P_\text{eff}=\frac{P_0}{\sqrt{2}}

L’oreille humaine peut percevoir des ondes sonores dont la pression efficace est supérieure ou égale à p_\text{ref} = 20 \,\mu\text{Pa}. En deça, le système auditif n’est pas suffisamment sensible pour déclencher un signal nerveux.La sensation devient douloureuse pour p \geq 20 \,\text{Pa}.

Énergie transportée

Intensité sonore

L’intensité sonore I indique la puissance transportée par l’onde traversant une surface de 1\hspace{1mm}\text{m}^2 perpendiculaire à la direction de propagation. I s’exprime en \text{W}/\text{m}^2.

L’intensité sonore est donc égale au quotient de la puissance acoustique \mathcal{P} de la source et de la surface A sur laquelle elle s’étale :

\displaystyle{I=\frac{\mathcal{P}}{A} }

Or la puissance est :

\displaystyle{\mathcal{P} = \vec{F} \cdot \vec{{u}} = A\cdot \Re \left(\underline{p}\right) \cdot \Re \left( \underline{u}\right) }

Nous avons donc, en développant comme au paragraphe précédent :

I= \Re \left(\underline{p}\right) \cdot \Re \left( \underline{u}\right) = \frac{1}{4} \left[ \left( \underline{p} \underline{u}^* + \underline{p}^* \underline{u} \right) + \left(\underline{p}\underline{u} + \underline{p}^*\underline{u}^* \right) \right] = \frac{1}{2} \left( \Re(\underline{p}\underline{u}^*) + \Re(\underline{p}\underline{u}) \right)

Le deuxième terme oscille avec une pulsation 2\omega, sa valeur moyenne est donc nulle. Il reste :

\displaystyle{ \boxed{ I = \frac{1}{2} \Re(\underline{p}\underline{u}^*) }}

Dans le cas d’une onde plane, on obtient :

\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \Re(\underline{p}\frac{\underline{p}^*}{\rho_0 c})= \frac{p_\text{eff}^2}{\rho_0 c}}

Ainsi, le seuil d’autition (intensité sonore minimale perceptible par l’oreille humaine) est :

I_0=\frac{p_\text{ref}^2}{\rho_0 \cdot c}=1 \times 10^{-12} \,\text{W}/\text{m}^2

Par ailleurs, pour des intensités sonores douloureuses, de l’ordre de 1\, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} (sirène d’urgence), on obtient comme pression acoustique efficace :

p_\text{eff}=\sqrt{I \cdot \rho_0 \cdot c} \approx 20 \, \text{Pa}

Cette valeur correspondant à 0,02% de la pression atmosphérique justifie que l’utilisation de l’acoustique des faibles signaux est tout à fait adaptée aux situations étudiées.

Ondes sphériques

Si l’onde plane est un cas limite intéressant, il est clair qu’elle est insuffisante pour décrire totalement le rayonnement d’une enceinte. La solution des ondes sphériques nous sera nécessaire et nous en donnons ici quelques résultats importants.

Nous nous plaçons en coordonnées sphériques. Si nous faisons l’hypothèse que la source sonore, placée à l’origine du repère, a un rayonnement isotrope, les grandeurs acoustiques ne dépendront que de leur distance à la source r. L’ensemble des points situés à même distance de l’origine auront donc le même état vibratoire.

Le laplacien figurant dans l’équation de propagation s’écrit avec ces simplifications : \Delta = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}

L’équation de propagation de la pression devient alors :

\frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial p}{\partial r} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0

En développant \frac{\partial^2(rp)}{\partial r^2}, on s’aperçoit qu’on peut réécrire :

\frac{\partial^2 (rp)}{\partial r^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 (rp)}{\partial t^2} = 0

Et la pression acoustique d’une onde sphérique est donc :

\displaystyle{\boxed{ \underline{p} = \frac{\underline{A}}{r} \exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] } }}

\underline{A} est une constante à determiner en fonction des propriétés de la source sonore. La pression décroît donc comme 1/r.

L’équation d’Euler en régime sinusoïdal permet d’en déduire la composante radiale de la vitesse de l’air :

\displaystyle{\rho_0 \cdot \frac{\partial \vec{\underline{u}}}{\partial t} = - \vec{\nabla}\underline{p} \Rightarrow \underline{u}_r = -\frac{1}{j \omega \rho_0} \frac{\partial \underline{p}}{\partial r} = \frac{1}{j \omega \rho_0} \left( \frac{1}{r}+jk\right) \underline{p} = \left( 1 - \frac{j}{kr}\right) \frac{\underline{p}}{\rho_0 c} }

On retrouve l’expression de la vitesse de l’air d’une onde plane à la limite r \rightarrow +\infty \iff kr \gg 1 mais, plus proche de la source, la vitesse n’est plus en phase avec la surpression.

Calculons l’intensité sonore dans le cas d’une onde sphérique :

\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \Re(\underline{p}\underline{u}^*) }

\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \Re \left[ \underline{p}\left( 1 + \frac{j}{kr}\right) \frac{\underline{p}^*}{\rho_0 c} \right] = \frac{\underline{p}\underline{p}^*}{2\rho_0 c} \Re \left( 1 + \frac{j}{kr}\right) = \frac{p_\text{eff}^2}{\rho_0 c}}

On retrouve donc la même formule simple que dans le cas des ondes planes.

La pression variant en 1/r, l’intensité sonore varie donc comme 1/r^2. Lorsque l’onde sonore se propage, l’énergie transportée se dilue sur une surface de plus en plus grande : l’intensité sonore diminue. On parle d’atténuation géométrique :

Intensité sonore d'une onde sphérique ; atténuation géométrique.

Si on multiplie la distance r à la source par deux, on multiplie la surface A par quatre: l’intensité sonore I est donc divisée par quatre.

Intensité sonore en fonction de la distance.
Intensité sonore en fonction de la distance à la source r, pour une puissance acoustique de 1W.
Lorsque la distance double, l’intensité sonore est divisée par 4.

Niveau sonore

Définition

Plus l’intensité sonore est élevée, plus le son est perçu comme fort ? Oui, mais … L’oreille humaine ne percevra pas comme deux fois plus fort un son dont l’intensité sonore est, justement, deux fois plus importante ! La sensibilité de l’oreille n’est pas linéaire, mais logarithmique.

Pour se rapprocher des sensations physiologiques liées au son, on définit le niveau sonore L :

L=10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}}

I_0=10^{-12} \,\text{W} \cdot \text{m}^{-2} est le seuil d’audition. L’unité du niveau sonore est le décibel \text{dB}.

Ainsi, alors que les intensités sonores perceptibles par l’oreille humaine s’échelonnent sur plus de 12 ordres de grandeur, les niveaux sonores correspondant prendront des valeurs comprises entre 0 et 120\, \text{dB}. Par ailleurs, une augmentation de 2\, \text{dB} du niveau sonore provoquera la même sensation à l’oreille, quel que soit le niveau initial.

Echelle de niveau sonore

Variations du niveau sonore

Nous disions que l’intensité sonore était divisée par quatre lorsqu’on multipliait la distance à la source par deux: qu’advient-il du niveau sonore ?

L'=10 \cdot \log{\frac{I'}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{4\cdot I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}} - 10\cdot \log{4} = L -6

Ainsi, le niveau sonore diminue de 6dB lorsqu’on multiplie la distance à la source par 2.

Niveau sonore (dB) en fonction de la distance.
Niveau sonore en fonction de la distance à la source r, pour une puissance acoustique de 1W. Lorsque la distance double, le niveau sonore chute de 6 dB.

Que devient maintenant le niveau sonore si on double la puissance de la source (ou que l’on accole deux haut-parleurs de même puissance) ?

L'=10 \cdot \log{\frac{I'}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{2 \cdot I}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}} + 10\cdot \log{2} = L +3

Lorsqu’on double la puissance, on augmente donc le niveau sonore de 3dB. De la même manière, il diminue de 3dB lorsque l’intensité sonore est divisée par deux.

Niveau de pression acoustique (dB SPL)

Si on injecte l’expression de l’intensité sonore I=p_\text{eff}^2 / (\, \rho \cdot c )\, dans la définition du niveau sonore, on obtient :

L=10 \cdot \log{\frac{p_\text{eff}^2}{p_\text{ref}^2}}=20 \cdot \log{\frac{p_\text{eff}}{p_\text{ref}}}

p_\text{ref}=20 \,\mu\text{Pa} est la pression efficace minimale perceptible. Lorsque la pression acoustique efficace est divisée par deux, le niveau sonore diminue donc de 6dB.

Sensibilité de l’oreille humaine

Courbe de Fletcher

Les seuils définis ci-dessus sont déterminés pour la fréquence de référence f=1000 \,\text{Hz}. Mais l’oreille humaine n’est pas sensible de la même manière à toutes les fréquences, comme le montre le diagramme de Fletcher :

Diagramme de Fletcher: sensibilité de l'oreille humaine
Diagramme de Fletcher : Sensibilité de l’oreille humaine en fonction de la fréquence

Les courbes représentées en bleu sont des contours de même niveau sonore perçu pour différentes fréquences (courbe isosoniques).

Par exemple, une note jouée à 100 Hz engendrant une pression acoustique de 30 dB SPL sera perçue à seulement 10 dB, donc nettement moins forte qu’un même niveau sonore à 1 000 Hz.

Décibel A – dB-A

L’échelle de niveau sonore correspondante, corrigée pour la sensibilité de l’oreille, est notée “dB-A”. Les corrections à apporter au niveau de pression acoustiques sont résumées sur la figure suivante :

Correction décibel A: prise en compte de la sensibilité de l'oreille.
Correction des dB-SPL en dB-A

On retrouve plus rapidement sur cette courbe le fait qu’à 100 Hz, il faut atténuer le niveau de pression acoustique de 20 dB : L_\text{dB-A, 100 Hz} = L_\text{dB-SPL, 100 Hz}-20.

Superposition de fréquences, spectres

Sons purs et complexes

Un diapason émet une onde sonore sinusoïdale : on parle de son pur. À l’inverse, la même note jouée par un piano n’est pas sinusoïdale : c’est un son complexe.

Pression acoustique : notes musicales
Enregistrement d’un La3 joué par un diapason (haut) et de la même note jouée par un piano (bas)

Spectre d’un son

Un résultat mathématique très important en traitement du signal est que tout signal peut être décomposé en une somme de sinusoïdes. On le sait déjà si on se remémore la dispersion de la lumière par les goutelettes d’eau dans un arc-en-ciel : l’onde lumineuse complexe de la lumière blanche solaire y est décomposée en une somme d’ondes lumineuses sinusoïdales (monochromatiques).

On voit cette décomposition sur le spectre de l’onde sonore. En abscisse figure la fréquence des sinusoïdes, en ordonnée leur amplitude. Sans surprise, le spectre de la note jouée par le diapason ne présente qu’un pic, puisqu’il suffit d’une sinusoïde pour obtenir l’enregistrement :

Spectre d'un enregistrement de diapason
tsf vintage radios
Spectre du La3 joué par le diapason

Par contre, le spectre du La joué au piano contient un grand nombre de pics :

Spectre d'un enregistrement d'une note de piano
tsf vintage radios
Spectre du La3 joué par un piano

Notons les points importants suivants :

  • La fréquence du pic de plus basse fréquence correspond à la fréquence f_1 de la note jouée (ici f_1=440 \,\text{Hz}). Ce pic est appelé le fondamental.
  • Les autres pics ont une fréquence multiple de celle du fondamental (2f_1=880 \,\text{Hz}\,;\, 3f_1=1320 \,\text{Hz}\,;\, ... \,;\,nf_1). Ils sont appelés harmoniques de rang 2, 3, …, n.

Enfin, dans un enregistrement réel, on observera à chaque instant une superposition de notes jouées par différents instruments ainsi que des “bruits” (percussions). Le spectre du son sera alors plus complexe à interpréter.

Spectre d'un enregistrement sonore
tsf vintage radios
Spectre résultant de la superposition des notes jouées par plusieurs instruments.

Timbre d’un instrument

Des notes indentiques jouées par des instruments différents ne provoquent pas à l’oreille la même sensation : on dit que leur timbre est différent. C’est la répartition relative des harmoniques dans le spectre de la note qui détermine le timbre, la “signature” sonore de l’instrument.

Conclusion

Dans cet article, nous avons défini les ondes sonores et étudié leurs caractéristiques principales ainsi que les grandeurs pertinentes pour les décrire et mesurer l’énergie qu’elles transportent. Les bases de l’acoustique linéaire sont maintenant posées.

Pour une application Hi-Fi, nous chercherons à obtenir un niveau sonore maximal d’environ L \approx 90\, \text{dB}, correspondant à une intensité sonore I \approx 10^{-3} \,\text{W} \cdot \text{m}^{-2} et une pression acoustique efficace P_\text{eff} \approx 0,65 \,\text{Pa} . Nous devrons aussi pouvoir produire du son sur une plage de fréquences aussi proche que possible de la plage 20 Hz – 20 kHz détectable par l’oreille, et ce avec une courbe de réponse la plus plate possible afin de ne pas favoriser certaines fréquences de l’enregistrement à diffuser.

Dans le prochain article, avant d’attaquer le haut parleur, nous étudierons le rayonnement acoustique de quelques formes simples.

Sources

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.