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Les ondes sonores et l’oreille humaine

Cet article fait partie d’une série visant à décrire la physique des ondes sonores et son application à l’élaboration d’une enceinte de qualité. Le lecteur disposant d’un niveau élémentaire en sciences et en maths pourra lire les articles en intégralité. Celui qui n’a pas cette chance devra parfois sauter aux conclusions.

Afin de préparer le terrain, cet article d’introduction se focalise sur les ondes sonores et leur perception par l’oreille humaine.

Onde progressive

Imposons à l’extrémité d’une corde posée au sol un brusque mouvement de va et vient vertical. La perturbation se propage de proche en proche : il y a propagation d’énergie sans transport de matière. On assiste à la propagation d’une onde. Un point situé en aval reproduira le même mouvement avec un certain retard \tau . Celui-ci dépend de la distance AB séparant les points et de la vitesse de propagation v de l’onde le long de la corde :

\tau = \frac{AB}{v}

Si le mouvement imposé à l’extrémité de la corde est périodique (se répétant à intervalle de temps régulier), les vibrations des différents points de la corde seront aussi périodiques. On parle alors de la période T de l’onde (en seconde \text s et de sa fréquence f=\frac{1}{T} en Hertz \text{Hz}.

La fréquence indique le nombre de vibrations par seconde de chaque point du milieu dans lequel l’onde se propage.

Ondes sonores

Propagation d'une onde sonore

Production d’une onde sonore

Lorsqu’un corps (pour nous, la membrane d’un haut-parleur) vibre en un point d’un milieu (pour nous, l’air), cette vibration est transmise aux autres points, de proche en proche, par contact. Il en résulte une propagation de la vibration dans le milieu, appelée onde.

propagation d'une onde sonore

À gauche de la figure, le haut-parleur est animé d’un mouvement régulier de va-et-vient. Lorsqu’il se déplace vers la droite, sa membrane pousse l’air en créant une surpression (elle “tasse” les molécules d’air). En se déplaçant ensuite vers la gauche, il crée une dépression (le vide laissé par la membrane “aspire” les molécules environnantes).

Il s’ensuit la propagation d’une onde sonore qui va pouvoir mettre en mouvement une autre membrane, plus loin: le tympan de l’auditeur. L’oreille humaine est susceptible de détecter des féquences allants de 20 Hz à 20 kHz. La vitesse à laquelle la vibration se propage dépend des propriétés de l’air (température, humidité, masse volumique), mais elle vaut environ c \approx 340 \, \text{m/s}.

Chaque point du milieu reproduit au passage de l’onde la vibration générée par la membrane du haut-parleur.

La courbe représentée au-dessus de la figure donne l’allure de la pression de l’air le long du parcours de l’onde (rappelons ici que l’unité internationale de la pression est le Pascal \text{Pa}. Dans cet exemple, elle correspond au cas le plus simple et le plus important de la physique des ondes : c’est une onde sinusoïdale. Cela veut simplement dire qu’elle peut être modélisée par une fonction sinus ou cosinus. Nous utiliserons largement les ondes sinusoïdale dans les prochains articles.

Longueur d’onde

La pression le long de l’axe de propagation de l’onde est périodique (elle est décrite par un motif qui se répète), la longueur de ce motif est appelée longueur d’onde et notée \lambda :

Longueur d'onde

La longueur d’onde est la distance entre deux crêtes sur la courbe. Il est clair qu’elle correspond donc à la distance parcourue par la perturbation pendant une période de l’onde. On a ainsi :

\lambda = c \cdot T = \frac{c}{f}

On peut maintenant déterminer les longueurs d’onde extrêmes détectables dans l’air par l’oreille humaine :

  • Pour les sons les plus graves, f=20 \hspace{0.1cm} \text{Hz} et : \lambda_\text{grave} = \frac{340}{20}=17\,\text{m}
  • Pour les sons les plus aigus, f=20 \, \text{kHz} et : \lambda_\text{aigu} = \frac{340}{20\cdot 10^3}=17\cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}\text{m}=17\,\text{mm}

Description mathématique d’une onde sinusoïdale

Pour exprimer, à un instant donné, la pression p(x) comme une fonction de la position, on peut utiliser le modèle :

p=p_0+p'

p_0 est la pression atmosphérique et p' la surpression due au passage de l’onde sonore, appelée aussi pression acoustique. Dans le cas d’une onde sinusoïdale, celle-ci s’écrit :

p'(x) = p_1 \cdot \sin (\, \frac{2\pi}{\lambda} \cdot x + \varphi_1 ) \,

p_1 l’amplitude de la perturbation et \varphi_1 est la phase à l’origine (i.e. l’argument du sinus lorsque x=0. On voit bien ici que, lorsque x \to x+\lambda, l’argument du sinus augmente de 2\pi. Le sinus reprend donc la même valeur, conformément à la périodicité observée.

Si on souhaite plutôt modéliser la pression acoustique au cours du temps en un point du milieu, on écrira pour la fonction p'(t) :

p'(t) = p_1 \cdot \sin (\, \frac{2\pi}{T} \cdot t + \varphi_2 ) \,

On voit ici la périodicité temporelle de la vibration d’un point du milieu, reproduisant celle de la source.

Enfin, si nous voulons décrire l’onde en fonction des deux paramètres x et t, on pourra combiner ces deux expressions :

p'(x,t) = p_1 \cdot \sin (\, \frac{2\pi}{\lambda} \cdot x - \frac{2\pi}{T} \cdot t + \varphi ) \,

Mais d’où vient ce signe négatif ? Il faut bien voir que la fonction sinus est symétrique. Pour l’équation p(t), on aurait tout aussi bien pu mettre un signe négatif au terme contenant t et obtenir la même allure. Mais il est important dans cette dernière équation. En effet, lorsque la perturbation se propage, x augmente et, bien sûr, t aussi. Le signe moins assure ainsi que l’augmentation de l’un compense celle de l’autre au cours de la propagation et que la valeur de la pression ne change pas lorsqu’on suit l’onde.

Pression acoustique efficace

La pression acoustique efficace p_\text{eff} se calcule comme on calcule la tension efficace d’une source alternative, c’est la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la pression :

p_\text{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p'^2 \,\text{d}t}

Dans le cas d’une onde sinusoïdale, la valeur moyenne du carré d’un sinus valant \frac{1}{2} :

p_\text{eff}=\frac{p_1}{\sqrt{2}}

L’oreille humaine peut percevoir des ondes sonores dont la pression efficace est supérieure ou égale à p_\text{ref} = 20 \,\mu\text{Pa}. En deça, le système auditif n’est pas suffisamment sensible pour déclencher un signal nerveux.La sensation devient douloureuse pour p \geq 20 \,\text{Pa}.

Énergie transportée

Puissance acoustique

Rappelons d’abord qu’une puissance caractérise la rapidité d’un transfert d’énergie : 1\,\text W = 1 \, \text J / \text s. Une source sonore délivrant une puissance acoustique de 1\,\text W transmet donc chaque seconde à l’air une énergie de 1\,\text J sous forme de vibrations.

Intensité sonore

L’intensité sonore I indique la puissance transportée par l’onde traversant une surface de 1\hspace{1mm}\text{m}^2 perpendiculaire à la direction de propagation. I s’exprime en \text{W}/\text{m}^2.

L’intensité sonore est donc égale au quotient de la puissance acoustique P de la source et de la surface A sur laquelle elle s’étale :

I=\frac{P}{A}

Lorsque l’onde sonore se propage, l’énergie transportée se dilue sur une surface de plus en plus grande : l’intensité sonore diminue. On parle d’atténuation géométrique :

Si on multiplie la distance r à la source par deux, on multiplie la surface A par quatre: l’intensité sonore I est donc divisée par quatre.

Intensité sonore en fonction de la distance à la source r, pour une puissance acoustique de 1W.
Lorsque la distance double, l’intensité sonore est divisée par 4.

L’intensité sonore est évidemment liée à la pression acoustique. Il s’avère qu’elle s’écrit :

I=\frac{p_\text{eff}^2}{\rho \cdot c}

\rho est la masse volumique de l’air, égale dans des conditions normales de pression et de température à \rho = 1,2 \,\text{kg} \cdot \text{m}^{-3}.

Ainsi, le seuil d’autition (intensité sonore minimale perceptible par l’oreille humaine) est :

I_0=\frac{p_\text{ref}^2}{\rho \cdot c}=1 \times 10^{-12} \,\text{W}/\text{m}^2

Par ailleurs, pour des intensités sonores douloureuses, de l’ordre de 1\, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} (sirène d’urgence), on obtient comme pression acoustique efficace :

p_\text{eff}=\sqrt{I \cdot \rho \cdot c} \approx 20 \, \text{Pa}

Plus l’intensité sonore est élevée, plus le son est perçu comme fort ? Oui, mais …

L’oreille humaine ne percevra pas comme deux fois plus fort un son dont l’intensité sonore est, justement, deux fois plus importante ! La sensibilité de l’oreille n’est pas linéaire, mais logarithmique.

Niveau sonore

Définition

Pour se rapprocher des sensations physiologiques liées au son, on définit le niveau sonore L :

L=10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}}

I_0=10^{-12} \,\text{W} \cdot \text{m}^{-2} est le seuil d’audition, intensité sonore en-deça de laquelle l’oreille humaine n’est pas capable de percevoir les vibrations de l’air. L’unité du niveau sonore est le décibel \text{dB}.

Ainsi, alors que les intensités sonores perceptibles par l’oreille humaine s’échelonnent sur 12 ordres de grandeur, les niveaux sonores correspondant prendront des valeurs comprises entre 0 et 120\, \text{dB}. Par ailleurs, une augmentation de 2\, \text{dB} du niveau sonore provoquera la même sensation à l’oreille, quel que soit le niveau initial.

Echelle de niveau sonore

Variations du niveau sonore

Nous disions que l’intensité sonore était divisée par quatre lorsqu’on multipliait la distance à la source par deux: qu’advient-il du niveau sonore ?

L'=10 \cdot \log{\frac{I'}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{4\cdot I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}} - 10\cdot \log{4} = L -6

Ainsi, le niveau sonore diminue de 6dB lorsqu’on multiplie la distance à la source par 2.

Niveau sonore en fonction de la distance à la source r, pour une puissance acoustique de 1W. Lorsque la distance double, le niveau sonore chute de 6 dB.

Que devient maintenant le niveau sonore si on double la puissance de la source (ou que l’on accole deux haut-parleurs de même puissance) ?

L'=10 \cdot \log{\frac{I'}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{2 \cdot I}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}} + 10\cdot \log{2} = L +3

Lorsqu’on double la puissance, on augmente donc le niveau sonore de 3dB. De la même manière, il diminue de 3dB lorsque l’intensité sonore est divisée par deux.

Niveau de pression acoustique (dB SPL)

Si on injecte l’expression de l’intensité sonore I=p_\text{eff}^2 / (\, \rho \cdot c )\, dans la définition du niveau sonore, on obtient :

L=10 \cdot \log{\frac{p_\text{eff}^2}{p_\text{ref}^2}}=20 \cdot \log{\frac{p_\text{eff}}{p_\text{ref}}}

p_\text{ref}=20 \,\mu\text{Pa} est la pression efficace minimale perceptible. Lorsque la pression acoustique efficace est divisée par deux, le niveau sonore diminue donc de 6dB.

Conclusion

Dans cet article, nous avons défini les ondes sonores et étudié leurs caractéristiques principales. Nous avons terminé en indiquant les grandeurs pertinentes pour mesurer l’énergie qu’elles transportent.

Pour une application Hi-Fi, nous chercherons à obtenir un niveau sonore maximal d’environ L \approx 90\, \text{dB}, correspondant à une intensité sonore I \approx 10^{-3} \,\text{W} \cdot \text{m}^{-2} et une pression acoustique efficace P_\text{eff} \approx 0,65 \,\text{Pa} .

Dans le prochain article, nous verrons comment le phénomène d’induction électromagnétique permet d’élaborer un haut parleur, et nous en dresserons un premier modèle.

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