Catégorie : Physique du son

Cet article fait suite à l’étude du haut-parleur électroacoustique. Nous verrons ici ce qu’il advient de ses propriétés et de son rayonnement lorsqu’il est intégré dans un caisson pour réaliser une enceinte.

• Résonance d’un haut-parleur monté dans un caisson
  • Variations de pression dans le caisson
  • Équation mécanique
  • Fréquence de résonance
• Rayonnement acoustique
  • Fonction de transfert
  • Phénomène de baffle (baffle-step)
  • Puissance rayonnée dans les deux modèles
  • Transition baffle step
  • Niveau sonore de l’enceinte close
• Diffraction par les bords
  • Position du problème
  • Cas d’un baffle circulaire
  • Observation hors-axe
  • Baffle rectangulaire
• Conclusion

Résonance d’un haut-parleur monté dans un caisson

Variations de pression dans le caisson

Nous avons vu que l’émission en opposition de phase de la face arrière de la membrane crée des interférences destructives néfastes, en particulier dans le domaine des basses fréquences. L’intégration du haut-parleur dans un caisson a pour objectif d’éviter ce court-circuit acoustique : le rayonnement arrière est en effet supprimé.

Soit V_0 le volume du caisson, enfermant de l’air à la pression atmosphérique P_0. Le volume d’air contenu dans le caisson étanche varie en fonction du déplacement de la membrane du haut-parleur de surface S : lorsque l’élongation de la membrane est x, le volume d’air est V=V_0 + \Delta V avec \Delta V = S \cdot x. L’air subit ainsi des successions de compressions et de dilatations au cours des vibrations de la membrane.

Si on suppose, comme d’habitude, que ces transformations sont adiabatiques, il résulte de la loi de Laplace :

\displaystyle{ \frac{ \text d}{\text d V} \left( P\cdot V^\gamma \right) = 0 \iff \frac{ \text{d}P}{\text{d}V} = - \frac{\gamma P}{V} }

Ainsi, si le volume \Delta V balayé par la membrane reste petit devant le volume total du caisson V_0, la surpression résultante peut s’écrire :

\displaystyle{ p = - \frac{\gamma P_0}{V_0} \Delta V = - \frac{\gamma P_0}{V_0} S x }

Équation mécanique

Prenons pour guide l’application de la deuxième loi de Newton au haut-parleur vue précédemment, nous avions obtenu comme équation mécanique du haut-parleur :

(m + 2m_\text{R}) \cdot \ddot{x} + (\alpha + 2R_\text{R}) \cdot \dot{x} + k \cdot x = Bl \cdot i

Deux modifications doivent être réalisées dans la configuration de l’enceinte close :

• D’une part, le rayonnement arrière ayant été supprimé, le facteur 2 devant la résistance de rayonnement R_\text{R} disparaît.
• D’autre part, la surpression p de l’air enfermé dans le caisson ajoute une force F dont l’expression est, d’après le résultat du paragraphe précédent : F = p\cdot S = - \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} x
  Cette expression est celle d’une force de rappel F = - k_\text{a} \, x, avec k_\text{a} = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} la raideur du volume d’air contenu dans le caisson.

Dans l’hypothèse où la surface de la membrane est petite en comparaison de la surface du panneau avant du caisson, la masse d’air déplacée à l’arrière de la membrane est sensiblement égale à celle déplacée à l’avant. La masse totale de l’équipage mobile restera donc m+2m_R

L’équation mécanique du haut-parleur monté dans un caisson est donc :

\displaystyle{ \boxed{ (m + 2m_\text{R}) \cdot \ddot{x} + (\alpha + R_\text{R}) \cdot \dot{x} + \left( k + k_\text{a} \right) \cdot x = Bl \cdot i }}

Le comportement du haut-parleur monté en enceinte close se déduit donc de celui du haut-parleur monté sur un baffle plan infini par les substitutions :

• 2R_\text R \rightarrow R_\text R
• k \rightarrow k_\text{b} = k + k_\text a avec k_\text a = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0}

Nous utiliserons l’indice b (pour “box”) pour toutes les grandeurs relatives au haut-parleur monté dans un caisson.

Fréquence de résonance

En suivant la démarche que nous avions emprunté pour le haut parleur monté sur un baffle plan, on aboutit au schéma électrique équivalent du haut parleur monté dans un caisson :

La résistance et l’inductance motionnelles sont inchangées, mais la capacité motionnelle subit une modification :

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} L_{\text{m,b}} = \frac{m +2m_\text{R}}{(Bl)^2}\\ R_{\text{m,b}} = \frac{(Bl)^2}{\alpha} \\ C_{\text{m,b}} = \frac{(Bl)^2}{k_\text b} \end{array}\right.}

Il s’ensuit que la résonance du circuit motionnel R,L,C en parallèle se produira à la pulsation :

\displaystyle{\left( \frac{\text{d}\underline{Z}_\text{mot}}{\text{d}\omega}\right)_{\omega=\omega_b} = 0 \iff \omega_b = \frac{1}{\sqrt{L_{\text{m,b}} \cdot C_{\text{m,b}}}} = \sqrt{\frac{k_b}{m + 2m_\text{R}}}}

Le numérateur de l’expression est plus grand que dans le cas d’un montage sur baffle plan, et le dénominateur est le même : la fréquence de résonance du haut-parleur est donc augmentée lors de son installation dans un caisson.

Le haut-parleur monté dans un caisson aura donc une fréquence de coupure dans les basses plus élevée.

La perte d’émission dans les graves sera d’autant plus marquée que la raideur k_\text a de l’air contenu dans le caisson sera importante, celle ci augmentant lorsque le volume V_0 du caisson diminue.La fréquence de coupure du haut-parleur sera multipliée par \sqrt{2} lorsque k_\text a = k. Ce seuil donne l’ordre de grandeur du volume minimal du caisson à utiliser.

Il est d’usage d’introduire ici le volume d’air équivalent à la suspension V_\text{as}, généralement publié dans les données constructeur des haut-parleurs. La raideur k du haut-parleur serait obtenue avec un volume d’air

\boxed{ \displaystyle{ V_\text{as} = \frac{\gamma P_0 S^2}{k} }}

Pour monter un haut-parleur en enceinte close sans trop augmenter la fréquence de coupure, il faudra donc un volume de caisson au moins quelques fois supérieur à V_\text{as}.

Exemple

Illustrons ces propos par un exemple numérique. Rappelons les données constructeur du haut-parleur Monacor SP-165PA que nous avions pris en exemple dans l’article précédent :

• Surface efficace de la membrane S = 137\times10^{-4}\,\text{m}^2
• Masse de l’équipage mobile (bobine + membrane) m = 8,2\times10^{-3} \,\text{kg})
• Raideur de la suspension élastique k = 4,0\times 10^{3} \,\text{N}\,\text{m}^{-1})
• Résistance mécanique de la suspension \alpha= 1,2 \,\text{kg}\,\text{s}^{-1}
• Résistance de la bobine R_e = 6.9\,\Omega
• Inductance de la bobine L_e= 0,50 \times10^{-3} \,\text{H}
• Facteur de force Bl = 7,1 \,\text{T}\,\text{m}

On a pour ce haut-parleur \displaystyle{ V_\text{as} = 6,6 \,\text{L} }. Si on choisit de le monter dans un caisson de volume V_0=40\,\text{L} \approx 6 V_\text{as}, on aura : k_\text a = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} = 6,7 \times 10^2 \,\text{N}\,\text{m}^{-1}

La raideur totale sera : k_\text b = k + k_\text a = 4,7 \times 10^3 \,\text{N}\,\text{m}^{-1}

Et la pulsation de résonance : \omega_\text b = \sqrt{\frac{k_b}{m + m_\text{R}}} = 654 \, \text{rad} \, \text{s}^{-1} = 1,08 \, \omega_0

La fréquence de coupure aura ainsi augmenté de 8%, passant de 96 à 104 Hz.

Rayonnement acoustique

Fonction de transfert

Le schéma acoustique équivalent au haut-parleur monté dans un caisson est :

• Pression excitatrice \underline{p}_g=\underline{P}_g \exp (j\omega t) avec \underline{P}_g = \frac{(Bl)\cdot\underline{U}}{S\cdot R_e}, exprimée en Pascals.
• Débit \underline{q} = \underline{Q} \exp (j\omega t), en \text{m}^3/\text{s}
• Résistances acoustiques, en \text{Pa}\cdot\text{s}/\text{m}^3:
  • R_{ae}=\frac{(Bl)^2}{S^2 R_e} (pertes électriques dans la bobine)
  • R_{ab}=\frac{\alpha}{S^2} (pertes par frottements)
• La compliance acoustique en \text{m}^3/\text{Pa} : C_{ab}=\frac{S^2}{k_b}.
• La masse acoustique en \text{kg}/\text{m}^4 : M_{ab}=\frac{m + m_\text{R}}{S^2}
• Résistance acoustique de rayonnement avant R_{ar}=\frac{R_\text{R}}{S^2}

Posons :

• \delta = \frac{\omega_b}{\omega_s} = 1,08 ;
• Q_{eb} =\frac{1}{\omega_b C_{ab}R_{ae}}  le facteur de qualité électrique ;
• Q_{mb} =\frac{1}{\omega_b C_{ab}R_{ab}}  le facteur de qualité mécanique ;
• Q_{tb}   le facteur de qualité total tel que \frac{1}{Q_{tb}} = \frac{1}{Q_{eb}} + \frac{1}{Q_{mb}} .

Reprenons l’exemple du Monacor déjà étudié, monté dans un caisson de 40 L :

Montage sur baffle plan	Montage dans caisson de 40 L
\omega_s = 606 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1}	\omega_b = \delta \omega_s = 654 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1}
Q_\text{es} = 1,1	Q_{eb}=1,0
Q_\text{ms} = 5,0	Q_\text{mb} = 4,6
Q_\text{ts} = 0,91	Q_\text{tb} = 0,83

Les facteurs de qualité diminuent en intégrant le haut-parleur dans un caisson, et ce d’autant plus que le volume du caisson est petit.

L’expression du débit, obtenue en suivant la démarche exposée dans l’article précédent, est alors :

\displaystyle{ \underline{Q}_b = \frac{j\delta \nu}{( j \delta \nu)^2 +\frac{j \delta \nu}{Q_{tb}} + 1} \cdot \omega_b C_{ab} \underline{P}_g = \frac{j\delta \nu}{( j \delta \nu)^2 +\frac{j \delta \nu}{Q_{tb}} + 1} \cdot \frac{ \omega_s C_{as}}{\delta} \underline{P}_g }

où \nu = \frac{\omega}{\omega_s} est la pulsation réduite définie par rapport à la pulsation de résonance du haut-parleur monté en baffle plan et où le deuxième terme a été réécrit en fonction des valeurs du haut-parleur monté en baffle plan.

Phénomène de baffle (baffle step)

Lorsque nous avons étudié le monopôle acoustique, nous avons signalé qu’il modélisait de manière très satisfaisante le rayonnement d’une enceinte close aux très basses fréquences. En effet, la longueur d’onde étant supérieure aux dimensions L du baffle (f < c / L), celui-ci est invisible pour les ondes sonores émises. Le rayonnement est alors isotrope dans tout l’espace.

Puis nous avons étudié le modèle du piston encastré sur un baffle infini, qui modélise bien le rayonnement d’une enceinte aux fréquences supérieures (f > c / L) : la longueur d’onde étant plus petite que le baffle du caisson, les ondes sonores le voient comme un baffle de grande dimension. Le rayonnement se fait alors principalement dans le demi-espace avant. Tant que la longueur d’onde est supérieure au rayon a du haut-parleur, ce rayonnement est lui aussi très peu directif.

Dans la fonction de transfert obtenue au paragraphe précédent, il faudra donc utiliser le modèle du monopôle pour les basses fréquences et celui du piston bafflé pour les fréquences supérieures. La transition entre ces deux modèles est appelée phénomène de baffle, ou baffle step en anglais.

Puissances rayonnées dans les deux modèles

La puissance rayonnée s’obtient à partir de la fonction de transfert de la même manière que nous l’avons obtenue pour le rayonnement du haut-parleur monté sur un baffle infini. La différence entre le rayonnement monopolaire (basse fréquence) et celui du piston bafflé (hautes fréquences) tient à la résistance de rayonnement R_R, qui est doublée pour le piston bafflé. On obtient ainsi pour le piston bafflé :

\displaystyle{ { \mathcal{P}_{ar,b,\text{HF}} = \frac{\rho_0}{4\pi c} \left( \frac{\omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g}{\delta^2} \right) ^2 \left|\underline{H}_{P,b}\right|^2} \hspace{1cm} \text{avec} \hspace{1cm}\underline{H}_{P,b} = \frac{\delta^2\nu^2}{( j\delta\nu)^2 +\frac{j\delta\nu}{Q_{tb}} + 1} }

Dans le cas du monopôle, on obtient deux fois moins :

\displaystyle{ { \mathcal{P}_{ar,b,\text{BF}} = \frac{\rho_0}{8\pi c} \left( \frac{\omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g}{\delta^2} \right) ^2 \left|\underline{H}_{P,b}\right|^2}} = \frac{ \mathcal{P}_{ar,b,\text{HF}}}{2}

Dans les basses fréquences, la valeur maximale de la puissance rayonnée est ainsi divisée par 2\delta^4 par rapport au même haut-parleur monté en baffle plan. Afin d’optimiser la fréquence de coupure dans les basses et le niveau sonore, on aura donc tout intérêt à placer le haut-parleur dans un caisson de volume suffisamment grand pour que \delta soit proche de 1.

Le rendement \eta_b du haut-parleur monté dans une enceinte close est lui calculé dans les hautes fréquences, lorsque \left|\underline{H}_{P,b}\right| \approx 1 : on a donc \eta_b = \frac{\eta_0}{\delta^4}. Pour notre exemple, on obtient 0,6\%.

La sensibilité L_{1,b} de l’enceinte est quant à elle réduite de 10\cdot \log{\delta^4}, soit une chute de 1,3\,\text{dB} pour l’enceinte considérée : on obtient L_1 = 90,2\,\text{dB}.

Transition baffle step

Aux hautes fréquences, les ondes sonores sont émises dans le demi-espace avant du caisson. A une distance r de l’enceinte, la puissance émise se dilue sur une demi-sphère de surface 2\pi r^2 et l’intensité sonore est :

\displaystyle{ I_\text{HF} = \frac{ \mathcal{P}_{ar,b,\text{HF}} }{2\pi r^2}}

Aux basses fréquences, les ondes sonores sont émises dans tout l’espace, la surface sur laquelle se dilue l’énergie est donc 4\pi r^2. On a alors :

\displaystyle{ I_\text{BF} = \frac{ \mathcal{P}_{ar,b,\text{BF}} }{4\pi r^2} = \frac{I_\text{HF}}{4}}

La transition liée au phénomène de baffle s’accompagne donc d’une diminution de 6\text{dB} dans les graves.

Sur quelles fréquences s’étale le phénomène de baffle ?

La diffraction est quantifiée par l’angle \theta d’étalement de l’onde. Pour l’obstacle de dimension L qu’est le caisson de l’enceinte, on a :

\theta = \frac{\lambda}{L}

Une onde émise par le haut-parleur le long du baffle sera significativement diffractée vers l’arrière dès lors que \theta \approx \frac{\pi}{4}. Cela correspond à \lambda_1 \approx 0,7L. Le rayonnement deviendra isotrope dans l’espace lorsque \theta \approx 2\pi, soit \lambda_2 \approx 6 L. La fréquence de transition est celle pour laquelle l’atténuation est moitié de sa valeur maximale, soit :

f_\text{step} = \sqrt{f_1 f_2} = \sqrt{\frac{c^2}{\lambda_1\lambda_2} } \approx \frac{1}{2} \frac{c}{L}
f_1 \approx 3 \, f_\text{step}, f_2 \approx \frac{f_\text{step}}{3}

Ou encore

\lambda_\text{step} = \frac{c}{f_\text{step}} \approx 2L
\lambda_1 \approx \frac{\lambda_\text{step}}{3}, \lambda_2 \approx 3 \, \lambda_\text{step}

On peut construire un bon modèle mathématique de la transition à l’aide d’une approximation bien connue de la fonction step de Heavyside :

H(f) \approx 6 \times \left( \left( 1 + \exp{ \left( -2 k \ln{\frac{f}{f_\text{step}}} \right) } \right)^{-1} -1 \right)

avec k=2 permettant l’étalement du phénomène sur l’intervalle \left[ \frac{f_\text{step}}{3} ; 3 \, f_\text{step} \right] :

Niveau sonore de l’enceinte close

Nous pouvons donc maintenant calculer l’intensité sonore aux hautes fréquences avec l’expression obtenue plus haut, en déduire le niveau sonore et prendre en compte la transition vers un rayonnement monopolaire aux basses fréquences en lui ajoutant la transition baffle step.

Pour notre enceinte de 40L, choisissons une profondeur du caisson de 25 cm et un baffle circulaire de 22,5 cm de rayon, le haut-parleur étant monté au centre de celui-ci. Je ne vous conseille pas une telle géométrie, mais elle permet de n’avoir qu’une unique dimension L=0,45 \,\text{m} à considérer. On obtient, avec un phénomène de baffle à 380 Hz s’étalant de 127 Hz à 1.14 kHz :

Notons tout de même que, dans un cas réel d’écoute dans une pièce, une fraction non négligeable des ondes sonores graves émises vers l’arrière de l’enceinte sera réfléchie par les murs, augmentant de fait le niveau perçu des basses. Le phénomène de baffle provoquera donc plutôt une diminution de 2 à 4 dB que de 6dB.

Notons aussi que, lorsque le caisson est rectangulaire, la transition sera adoucie du fait de fréquences de transition différentes pour les différentes tailles de l’obstacle vues par l’onde :

Par exemple, pour un même volume de caisson de 40L et une même profondeur de 25cm, un baffle rectangulaire de dimension 30 \times 50 \,\text{cm} aura une transition de phénomène de baffle qui s’étendra de \lambda_1 \approx 0,7 \,L_{min}=21\,\text{cm} à \lambda_{max} \approx 6 \,L_{max}=3,0 \,\text{m}, soit :

f_{min}=114\,\text{Hz} \,\, ; \,\, f_{max}=1,63\,\text{kHz}, \,\,f_\text{step}=\sqrt{f_{min}f_{max}}=430\,\text{Hz}

Diffraction par les bords

Position du problème

On s’intéresse dans cette section au côté “hautes-fréquences” du phénomène de baffle : les ondes sonores sont supposées contraintes à se propager dans un demi-espace délimité par le baffle.

Considérons une onde sphérique. Le principe d’Huygens-Fresnel stipule que chaque point du milieu perturbé par l’onde devient lui-même une source élémentaire secondaire, la combinaison des perturbations générées par ces sources secondaires constituant le nouveau front d’onde :

Lorsque l’onde se propageant le long du baffle atteint sa périphérie, elle rencontre une discontinuité puisque le volume disponible pour sa propagation change : il passe d’une demi-sphère à une sphère. La pression chute d’un facteur 2 et les sources secondaires ne forment alors plus un ensemble cohérent avec leur prédécesseurs, il faut les considérer comme une nouvelle source. On parle de diffraction par le bord du baffle.

Du fait de leur déphasage, provenant du délai induit par la propagation jusqu’au bord du baffle, l’onde directe et l’onde diffractée interfèrent au point d’observation : la pression acoustique présentera des pics lorsque les ondes sont en phase et des creux lorsqu’elles sont en opposition de phase.

Cas d’un baffle circulaire

Dans un souci de simplification visant à se concentrer sur les effets physiques, nous nous restreindrons dans un premier temps au cas défavorable d’un baffle circulaire observé dans l’axe.

Nous nous intéressons ici au haute-fréquences : changeons donc notre haut-parleur d’étude pour un tweeter Dayton DC28FT de rayon a=14 \,\text{mm}, de fréquence de résonance f_s = 834 \,\text{Hz} et de facteur de qualité total Q_\text{ts} = 0,50. Ce haut-parleur est monté dans une enceinte close, au centre d’un baffle circulaire de rayon R= 22,5 \,\text{cm}. Il n’y a pas de modification de la fréquence de résonance pour le tweeter : il est monté en usine dans un caisson étanche (le caisson servirait, dans un cas réel d’enceinte deux-voies, à supprimer le court-circuit acoustique du HP de graves).

Sa courbe de réponse théorique est alors, en tenant compte du phénomène de baffle :

La distance parcourue par l’onde en atteignant le bord du baffle est égale aux rayon R du baffle. Le bord du baffle se comporte donc comme une deuxième source émettant à la même fréquence que le haut parleur mais avec un retard \tau = R/c, durée nécessaire pour atteindre le bord du baffle en partant de son centre.

L’onde directe se propageant dans un demi-espace a pour expression au point M :

\displaystyle{ p_0 = \frac{j \omega \rho Q_0}{2\pi} \cdot \frac{\exp{j \left( \omega t - k r_0\right) }} {r_0} }

L’onde diffractée émise par une source secondaire infinitésimale de longueur \text{d}\mathcal{l} = R\cdot \text{d}\varphi s’écrit quant à elle:

\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{j \omega \rho Q_0}{4\pi} \cdot \frac{ \exp{ \left[ j \left( \omega t - k \left(r_1+R\right) \right)\right]} } {r_1 + R} \cdot \frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }

où D(0) est le facteur de directivité du haut-parleur le long du baffle.

En champ lointain, on a r_1 \approx r_0 et la différence d’amplitude due à la distance parcourue supplémentaire R est négligeable. Il vient :

\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }

L’intégration le long du cercle est triviale, finalement :

\displaystyle{ p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R \right)} }

La pression résultante au point d’observation est donc :

\displaystyle{ p = p_0 + p_1 = p_0 \left( 1 + D(0) \cdot \frac{1}{2} \exp{ \left(- jkR \right) } \right) }

Les ondes directes et diffractées interfèrent au point d’observation via le terme entre parenthèses ; la pression acoustique efficace est :

\displaystyle{ p_\text{eff} = \frac{ \left| p \right| }{\sqrt{2}} = p_{0,\text{eff}} \left( 1 + D(0) \cdot \frac{1}{2} \cos{ \left(kR\right) }\right) }

Les interférences seront constructives lorsque les ondes directe et diffractée sont en phase au point d’observation, i.e. lorsque k R = m \cdot2\pi avec m entier positif, soit \lambda = R/m ou encore f = m c /R. Les ondes seront en opposition de phase, générant des interférences destructives, lorsque k R = \left( m + \frac{1}{2} \right) \cdot2\pi, soit \lambda = R/\left( m + \frac{1}{2} \right) ou encore f = \left( m + \frac{1}{2}\right) c /R.

Le haut-parleur devenant très directif aux hautes fréquences (ka >= 4, le phénomène s’estompe :

Les variations de niveau sonore sont donc de l’ordre de 10 dB au maximum (la pression variant d’un facteur 3 entre 0,5 et 1,5, l’intensité sonore varie d’un facteur 9 et 10 \times \log{9} = 9,5.

On peut maintenant calculer l’intensité sonore I=\frac{p_\text{eff}^2}{\rho c} et le niveau sonore résultant :

Le premier creux, correspondant à \lambda / 2 = R, est masqué partiellement par le phénomène de baffle (la longueur d’onde est grande, le rayonnement de l’enceinte se fait donc quasiment sur une sphère et il y a peu de diffraction). La première bosse en fin de transition baffle-step correspond à \lambda = R puis le creux suivant à \lambda = \frac{2}{3}R, etc.

Observons un agrandissement de la zone d’intérêt, en échelle linéaire de fréquence :

Les pics sont espacés d’environ 1500 Hz, la longueur d’onde correspondante est \lambda = \frac{c}{f} = 22,8\,\text{cm} : on peut ainsi mesurer le rayon du baffle.

Notons ici que l’amplitude des variations sera amoindrie avec des arrêtes arrondies.

Observation hors-axe

On se place maintenant hors-axe, dans un direction définie par l’angle \eta par rapport à l’axe de symétrie du baffle :

Un peu de géométrie permet de voir que la différence de marche supplémentaire de l’onde diffractée par rapport à l’onde directe est \delta = R \sin{\eta}\cos{\varphi}, le déphasage correspondant est \phi_0 = k\delta.

L’onde directe a donc pour expression :

\displaystyle{ p_0 = D\left(\frac{\pi}{2}-\eta\right) \cdot \frac{j \omega \rho Q_0}{2\pi} \cdot \frac{\exp{j \left( \omega t - k r_0\right) }} {r_0} }

Et on aura au point d’observation, pour source secondaire infinitésimale \text{d}p_1 :

\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k (R - \delta) \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }

L’onde diffractée par le bord du baffle est ainsi :

\displaystyle{ p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R\right)} \cdot \int_0^{2\pi} \exp{\left( j k R\sin{\eta}\cos{\varphi}) \right)} \frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }

L’intégrale dans le dernier terme est : J_0\left(k R \sin(\eta)\right), fonction de Bessel d’ordre 0 :

\displaystyle{ p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R\right)} \cdot J_0\left(k R \sin(\eta)\right) }

En sommant l’onde directe p_0 (affectée du facteur de directivité D(\frac{\pi}{2}-\eta) et l’onde diffractée p_1, puis en calculant l’intensité sonore correspondante et en en déduisant le niveau sonore de la même manière que précédemment, on obtient les courbes suivantes :

On constate sans surprise que la diffraction par les bords est moindre hors-axe : en effet, les différentes sources secondaires sur le pourtour du baffle ne sont plus toutes en phase. Ce calcul montre que, lorsqu’on cherche à corriger les pics et les creux dans l’axe par un filtrage numérique, on génère de fait des pics et des creux hors-axe.

Baffle rectangulaire

Penchons nous dorénavant sur le cas plus concret du baffle rectangulaire, observé dans l’axe. Sa géométrie est résumée sur la figure suivante :

Nous avons gardé les dimensions du caisson utilisé dans le calcul du phénomène de baffle : L_1=50\,\text{cm}, L_2=30\,\text{cm}. Le tweeter est positionné aux coordonnées x_t = y_t = 20\,\text{cm}.

L’expression de l’onde directe est identique à celle obtenue dans le cas du baffle circulaire, et une source infinitésimale située à la coordonnée \varphi engendrera au point d’observation, avec les mêmes simplifications que précédemment :

\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k b(\varphi) \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }

L’intégration se fait numériquement, par morceaux pour chacune des arêtes du baffle. Par exemple, pour l’arrête supérieure, on aura :

\displaystyle{ p_{1,\text{top}} = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \int_{\arctan{\frac{L_1-y_t}{L_2-x_t}}}^{\frac{\pi}{2}+\arctan{\frac{x_t}{L_1-y_t}}} {\exp{\left( -j k \frac{L_1-y_t}{\sin{\varphi}} \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} } }

Le terme d’interférences a l’allure donnée ci-dessous.

On en déduit comme plus haut le niveau sonore du haut-parleur monté dans le caisson :

Comme on pouvait s’y attendre, les effets de la diffraction par les bords du baffle sont nettement moins prononcés qu’avec un baffle circulaire (les sources secondaires ne sont en effet jamais toutes en phase avec l’onde directe). Ici, comme pour le baffle circulaire, la mesure des écarts en fréquence des différents pics permet de déduire la distance entre le haut-parleur et les bords du baffle. Par exemple, les deux pics les plus visibles sur le graphe sont espacés de 3400 Hz, ce qui correspond à une longueur d’onde de 10 cm, distance séparant le haut-parleur du haut du baffle.

L’étude de la directivité est, elle aussi, réalisée par intégration numérique en ajoutant comme dans le cas du baffle circulaire la différence de marche supplémentaire \delta = b(\varphi)\cdot\sin{\eta}\cdot\cos{\varphi} :

Conclusion

Nous avons vu dans cet article les conséquences sur le rayonnement acoustique du scellement d’un haut-parleur dans un caisson : augmentation de la fréquence de résonance, phénomène de baffle et diffraction par les bords du baffle.

Un moyen possible de contrer l’augmentation de la fréquence de résonance et donc de la coupure grave du haut-parleur est d’intégrer un évent dans le caisson pour réaliser une enceinte bass-reflex. Le prochain article y sera consacré.

Sources

Francis BROUCHIER – Haut-parleurs et enceintes acoustiques : Théorie et pratique

Jean Fourcade – Utilitaires Scilab pour le calcul et l’optimisation d’enceintes bass-reflex

Loudspeaker Cabinet Diffraction (Tore Skogberg)

Diffraction from baffle edges

Après avoir traité les bases de l’acoustique et le rayonnement acoustique, cet article aborde la problématique de la production d’ondes sonores avec un haut-parleur électroacoustique. Nous nous appuierons sur ce que nous y avons appris et nous utiliserons le principe de l’induction électromagnétique ainsi qu’un peu de mécanique pour comprendre le fonctionnement d’un haut-parleur électrodynamique. Le modèle que nous dresserons nous permettra d’isoler les grandeurs physiques importantes et de discuter de l’ordre de grandeur de leurs valeurs.

• Données techniques d’un haut-parleur
  • Description
  • Jeu de paramètres
• Equation mécanique
  • Force de Lorentz
  • Force de Laplace exercée sur un conducteur
  • Cas particulier de la bobine d’un haut-parleur
  • Principe fondamental de la dynamique
• Equation électrique
  • Force électromotrice induite
  • Loi des mailles
• Impédance
  • Solution en régime sinusoïdal forcé
  • Circuit électrique équivalent
• Rayonnement acoustique
  • Circuit acoustique équivalent
  • Débit acoustique
  • Puissance rayonnée
  • Rendement
  • Niveau sonore, sensibilité
  • Déplacement de la membrane
• Valeurs maximales
  • Tension et puissance électrique
  • Niveau sonore
• Hautes fréquences
• Conclusion

Données techniques d’un haut-parleur

Description

Jeu de paramètres

• Surface efficace de la membrane S = 137\times10^{-4}\,\text{m}^2
• Masse de l’équipage mobile (bobine + membrane) m = 8,2\times10^{-3} \,\text{kg})
• Raideur de la suspension élastique k = 4,0\times 10^{3} \,\text{N}\,\text{m}^{-1}) (on trouve fréquemment son inverse, la compliance C = 1/k de la suspension en \text{m}\,\text{N}^{-1})
• Résistance mécanique de la suspension \alpha= 1,2 \,\text{kg}\,\text{s}^{-1} (coefficient de la vitesse dans l’expression de la force de frottement fluide)
• Résistance de la bobine R_e = 6.9\,\Omega (l’indice e se réfère aux grandeurs électriques)
• Inductance de la bobine L_e= 0,50 \times10^{-3} \,\text{H}
• Facteur de force Bl = 7,1 \,\text{T}\,\text{m} (produit du champ magnétique par la longueur de la bobine)

À quoi nous rajoutons la valeur limite du déplacement de la membrane pour laquelle la réponse est linéaire : x_\text{max} = 3,75 \times10^{-3} \,\text{m}

Equation mécanique

Force de Lorentz

En sommant ces deux forces, on obtient la force de Lorentz qui s’exerce sur une particule chargée plongée dans un champ électromagnétique :

\vec{F}=q \cdot (\,\vec{E} + \vec{v} \land \vec{B})\,

Force de Laplace exercée sur un conducteur

Soit un circuit électrique filiforme, parcouru par un courant I, en mouvement dans un champ électromagnétique (\, \vec{E},\,\vec{B} )\, à la vitesse \vec{V}.

Toutes les particules chargées du conducteur (ions métalliques et électrons libres) sont soumises à la force de Lorentz.

Pour les ions métalliques, de charge positive, e correspondant à la charge élémentaire :

\vec{F}_{ion}=e \cdot (\,\vec{E} + \vec{V} \land \vec{B})\,

Pour les électrons libres, de charge opposée en mouvement à la vitesse \vec{u} dans le circuit :

\vec{F}_{elec}=-e \cdot (\,\vec{E} + (\,\vec{V} + \vec{u})\,\land \vec{B})\,

Il y a autant d’ions métalliques que d’électrons libres. Toutes les contributions s’annulent sauf celle due à la vitesse propre des électrons dans le circuit. La force exercée globalement sur le circuit, appelée force de Laplace, est donc la somme de toutes les forces \vec{f}=-e \vec{u}\land \vec{B} exercées sur chacun des électrons libres.

Cas particulier de la bobine d’un haut-parleur

Pour simplifier la suite, plaçons-nous d’ores et déjà dans la géométrie qui nous intéresse pour l’étude du haut parleur. Le conducteur est une bobine de fil de longueur totale l plongée dans un champ magnétique radial d’intensité B :

D’après la règle de la main droite, pour un courant circulant dans le sens horaire (et donc des électrons circulant dans le sens trigonométrique) toutes les forces à sommer sont donc colinéaire à l’axe central du dispositif, dirigées suivant les x croissants. C’est la convention choisie sur les haut-parleurs : la borne teintée de rouge ou indiquée “+” correspond au sens de branchement pour lequel un courant positif met l’équipage mobile en mouvement vers l’extérieur. Il nous reste à sommer les contributions \vec{f}=-e\cdot u\cdot B \cdot \vec{e}_x pour chacun des électrons libres (\vec{e}_x est le vecteur unitaire portant l’axe x).

Combien y-a-t-il d’électrons libres dans cette bobine ? Le courant étant le débit de charges, il y a n=I/e électrons qui traversent une section du circuit en une seconde. Les derniers à la traverser sont ceux qui étaient situés à une distance \delta = u \times 1\,\text{s} une seconde auparavant. Si l est la longueur totale du fil, il y en a donc \frac{l}{\delta} fois plus : il y a en tout N = n \cdot \frac{l}{\delta}=\frac{I \cdot l}{u\cdot e} électrons libres. La force de Laplace exercée sur la bobine est finalement :

\vec{F}_L=N \cdot \vec{f}=\frac{I \cdot l}{u\cdot e} \cdot (\,-e)\,\cdot u\cdot B \cdot \vec{e}_x=I \cdot Bl \cdot \vec{e}_x

Si la bobine est parcourure par un courant d’intensité constante i, la force de Laplace exercée sur elle sera donc constante elle aussi. Mais si, maintenant, on impose un courant variable i dans la bobine, on voit que la force de Laplace sera elle aussi variable. Elle poussera la bobine tantôt à droite (lorsque le courant est positif) et tantôt à gauche (lorqu’il est négatif). L’effet sera donc de faire vibrer la bobine autour de sa position d’équilibre.

L’énergie mécanique vibratoire pourra alors être transmise en partie à l’air, comme nous l’avons détaillé dans l’article précédent.

Notons enfin que la force de Laplace est proportionnelle au facteur de force Bl affiché par les constructeurs.

Principe fondamental de la dynamique

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au système {bobine + membrane} de masse m dans le référentiel de l’aimant : m \cdot \vec{a} = \Sigma\, \vec{F}_\text{ext}.

Les forces exercées suivant l’axe x sont :

• la force de rappel -k\cdot x due à la fixation élastique, qui ramène le système vers sa position d’équilibre ;
• une force dissipative de frottements fluides proportionnelle à la vitesse du système -\alpha \cdot v_x = -\alpha \cdot \dot{x} ;
• la force de Laplace Bl \cdot i exercée sur la bobine ;
• les forces de pression -p_\text{avant} S et p_\text{arrière} S dues à la pression de l’air sur les faces de la membrane. Ces forces caractérisent le rayonnement acoustique du haut-parleur.

Nous avons vu que les forces de pression pouvaient s’écrire : Z_\text{R} \cdot \dot{x}, avec Z_\text{R} = R_\text{R} + j \omega m_\text{R} l’impédance de rayonnement. Les expressions de la résistance de rayonnement R_\text{R} et de la masse de rayonnement m_\text{R} sont, pour un piston encastré dans un plan infini, dans l’approximation des basses fréquences :

\displaystyle{ R_\text{R} \approx \rho c S \sigma = \frac{\rho_0 S^2 }{2\pi c}\omega^2 \hspace{1cm}\text{et} \hspace{1cm} m_\text{R} \approx \frac{8\rho}{3}\left(\frac{S}{\pi}\right)^{3/2} }

Pour le haut-parleur Monacor pris en exemple, on obtient :

\displaystyle{ R_\text{R} \approx 1,0\times10^{-7}\omega^2 \;\text{kg}\,\text{s}^{-1}\hspace{1cm}\text{et} \hspace{1cm} m_\text{R} \approx 0,9 \,\text{g} }

La résistance de rayonnement est donc négligeable devant la résistance mécanique jusqu’à \omega \approx 10^3 \,\text{rad}\,\text{s}^{-1}. L’expression utilisée n’est de toute manière valable qu’aux basses fréquences. La masse de rayonnement quant à elle implique une faible correction de l’ordre de quelques pourcents.

Contrairement au modèle du piston solide, la membrane du haut-parleur est en contact avec l’air des deux côtés du baffle : masse de rayonnement et résistance de rayonnement sont à prendre en compte pour le rayonnement avant et pour le rayonnement arrière.

On obtient donc l’équation différentielle relative à la position de la bobine (équation mécanique du haut-parleur) :

(m + 2m_\text{R}) \cdot \ddot{x} = -k \cdot x - (\alpha + 2R_\text{R})\cdot \dot{x} + Bl \cdot i

Equation électrique

Force électromotrice induite

Lorsqu’un circuit est mobile dans un champ magnétique, la force magnétique exercée sur les électrons libres va les mettre en mouvement. Un courant induit apparaît donc spontanément dans le circuit. On appelle force électromotrice u_\text{ind} la différence de potentiel expliquant l’apparition de ce courant électrique. Nous établirons dans ce paragraphe l’expression de la f.e.m. induite dans la bobine d’un haut parleur en mouvement dans le champ magnétique de l’aimant.

Dans le référentiel de l’aimant, il règne dans l’entrefer un champ magnétique \vec{B} radial. Lorsque la bobine est en mouvement à la vitesse \vec{V}, les électrons libres subissent une force de Lorentz \vec{F}=-e \cdot \vec{V} \land \vec{B}. D’après la règle de la main droite, cette force aura tendance à mettre les électrons en mouvement dans le sens trigonométrique, et donc à générer un courant positif dans la bobine. En appelant \vec{u} le vecteur unitaire dirigé en chaque point de la bobine dans le sens d’une intensité positive : \vec{F}= e \cdot V \cdot B \cdot \vec{u}.

Plaçons nous maintenant dans le référentiel de la bobine. On vient de voir que des électrons initialement immobiles se mettront en mouvement dans le sens horaire. Ils sont donc soumis à l’effet d’un champ électrique \vec{E}' qui s’écrit, par définition :

\displaystyle{ \vec{E}' = \frac{\vec{F}}{q} = \frac{e \cdot V \cdot B \cdot \vec{u}}{-e}= V \cdot B \cdot \vec{u} }

La force électromotrice induite est égale à la circulation du champ électrique entre les deux extrémités de la bobine ;

u_\text{ind}= \int_0^l \vec{E}' \cdot \text d \vec{l} =- V \cdot Bl

Loi des mailles

La loi des mailles donne :

u(t)\, + u_\text{ind}(t)\, = u_R + u_L \, \iff \, R \cdot i + L \cdot \frac{\text{d}i}{\text{dt}} = u(t)\, - Bl \cdot \dot{x}

Cette équation est appelée équation électrique du haut-parleur. Elle est donc, sans surprise, l’équation d’un circuit R,L en régime forcé. Mais la tension forçant le circuit contient deux termes : la tension imposée et la f.e.m. due à la vitesse de la bobine.

Impédance

Solution en régime sinusoïdal forcé

Nous avons vu que la résistance de rayonnement est faible devant le coefficient de frottement mécanique : R_\text{R} \ll \alpha. Nous négligerons donc le terme contenant R_\text{R} dans cette section qui ne traite que du comportement électrique du haut-parleur.

Un haut-parleur est donc régi par deux équations :

\left\{ \begin{array}{ll} (m + 2m_\text{R})\cdot \ddot{x} + \alpha \cdot \dot{x} + k \cdot x = Bl \cdot i \\ R \cdot i + L \cdot \frac{\text{d}i}{\text{dt}} = u(\,t)\, - Bl\cdot \dot{x} \end{array}\right.

Ces deux équations sont couplées, puisque l’équation mécanique contient la variable électrique i et que l’équation électrique contient la variable mécanique x. Les coefficients de couplage sont respectivement Bl et - Bl : ils sont opposés.

Recherchons des solutions particulières de ces équations en imposant un régime sinusoïdal. Un son plus complexe sera décrit par un ensemble de fréquences, et donc par une somme de sinusoïdes, comme expliqué ici. Imposons donc dans l’équation mécanique une intensité sinusoïdale \underline{i}=\underline{I} \cdot \exp{(\,j \omega t)\,}. Nous utilisons ici la notation complexe.

Injectons maintenant dans l’équation une solution sinusoïdale pour x, c’est à dire une solution s’écrivant sous la forme \underline{x}=\underline{X} \cdot \exp{(\,j \omega t)\,}. On obtient :

\left[(m + 2m_\text{R}) (j \omega)^2 + j \omega \alpha + k \right] \cdot \underline{X} = Bl \cdot \underline{I}

En opérant de la même manière pour l’équation électrique :

\underline{U} - Bl \cdot \underline{\dot{X}}= \left( R + j \omega L \right) \underline{I}

Eliminons \underline{X} de la deuxième équation en utilisant la première :

\displaystyle{\underline{\dot{X}} = \frac{ j \omega \cdot Bl}{(m + 2m_\text{R}) (j\omega)^2 +j \omega \alpha + k} \cdot \underline{I}}

\displaystyle{\underline{U} = \left( R + j \omega L + \frac{j \cdot \omega \cdot (Bl)^2}{(m + 2m_\text{R}) (j\omega) ^2 +j \omega \alpha + k}\right)\underline{I}}

Où l’impédance électrique du haut-parleur \underline{Z} = \underline{U} / \underline{I} apparaît :

\displaystyle{\underline{Z} = R + j \omega L + \frac{j \omega \cdot (Bl)^2}{(m + 2m_\text{R}) (j\omega)^2 -j \omega \alpha + k} }

Le terme R + j \omega L est l’impédance électrique classique d’une bobine, le deuxième terme est dû au mouvement de la bobine dans le champ magnétique de l’aimant et est appelé impédance motionnelle :

\displaystyle{\underline{Z}_{\text{mot}} = \frac{j \omega \cdot l^2 \cdot B^2}{(m + 2m_\text{R}) \omega ^2 -j \omega \alpha - k} }

Circuit électrique équivalent

Remarquons maintenant que l’impédance motionnelle peut s’écrire :

\displaystyle{\underline{Z}_{\text{mot}} = \frac{1}{\frac{j \omega (m + 2m_\text{R})}{(Bl)^2} + \frac{\alpha}{(Bl)^2} +\frac{k}{j \omega (Bl)^2}} }

Soit :

\displaystyle{\frac{1}{\underline{Z}_{\text{mot}}} = \frac{1}{j \omega L_\text{mot}}+ \frac{1}{R_\text{mot}} + \frac{1}{\frac{1}{j\omega C_\text{mot}} } }

avec

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} L_{\text{mot}} = \frac{m + 2m_\text{R}}{(Bl)^2}\\ R_{\text{mot}} = \frac{(Bl)^2}{\alpha} \\ C_{\text{mot}} = \frac{(Bl)^2}{k} \end{array}\right.}

On reconnait ainsi l’association en parallèle d’un condensateur de capacité C_{\text{mot}}, d’un résistor de résistance R_{\text{mot}} et d’une bobine d’inductance L_{\text{mot}}.

Pour le haut-parleur utilisé en exemple, on obtient :

• C_{\text{mot}} = 198 \,\text{µF}
• R_\text{mot} = 42,0 \,\Omega
• L_\text{mot}= 12,6 \,\text{mH}

Prenons un instant pour comprendre l’origine physique de ces trois effets. La masse en mouvement permet le stockage d’énergie (du fait de l’inertie) comme une bobine stocke de l’énergie magnétique lorsque des charges la traversent. Les forces de frottement dissipent de l’énergie comme le fait une résistance par effet Joule. Enfin, la raideur du ressort permet, par la force de rappel, le stockage d’énergie élastique, comme un condensateur stocke de l’énergie électrique par accumulation de charges.

Le schéma électrique équivalent d’un haut-parleur est finalement :

La résonance du circuit motionnel R_{\text{mot}}, \, L_{\text{mot}} , \, C_{\text{mot}} en parallèle se produit à la pulsation

\displaystyle{\left( \frac{\text{d}\underline{Z}_\text{mot}}{\text{d}\omega}\right)_{\omega=\omega_0} = 0 \iff \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_{\text{mot}} \cdot C_{\text{mot}}}} = \sqrt{\frac{k}{m + 2m_\text{R}}}}.

Dans notre exemple, \omega_0 = 606\,\text{rad}\,\text{s}^{-1} soit f_0 = 96\,\text{Hz}. Le pic du module d’impédance est |\underline{Z}|_\text{max}=R_e+R_\text{mot}=49\,\Omega.

Deux faits importants à noter ici :

• Le pic d’impédance à la fréquence de résonance f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} implique que le haut-parleur ne peut pas générer de son de fréquence inférieure. Cette fréquence constitue donc la limite basse de la bande passante. En effet, bien que commercialisé en affichant sa puissance, un amplificateur est bien un amplificateur de tension. Or la puissance est \mathcal{P} = \frac{U^2}{|\underline{Z}|}: elle s’effondre en s’approchant du pic d’impédance.
• Aux basses fréquences, l’impédance électrique du haut parleur est quasiment résistive : \underline{Z}_{e} = R_e + j\omega L_e \approx R_e. Mais lorsque la pulsation s’approche de la valeur \omega = R_e/L_e (dans notre exemple proche de 14 000 \,\text{rad}\,\text{s}^{-1}), les effets inductifs commencent à apparaître et l’impédance remonte.
• Entre ces deux valeurs, le module de l’impédance passe par un minimum Z, qui est l’impédance affichée par le constructeur.

Seules les performances acoustiques d’un haut-parleur sont, in fine, d’intérêt. L’étude électrique a cependant d’intéressant que la mesure de la courbe d’impédance, plus simple à réaliser avec précision qu’une mesure acoustique, permet de déterminer certaines caractéristiques acoustiques du haut-parleur (résistance motionnelle, pulsation de résonance).

Rayonnement acoustique

Circuit acoustique équivalent

Repartons maintenant de l’équation mécanique et de l’équation électrique et éliminons le courant de l’équation mécanique. On obtient sans difficulté :

\displaystyle{\frac{Bl\cdot\underline{U}}{R_e+j\omega L_e} = \left[ j\omega (m+2m_\text{R}) + (\alpha + 2R_\text{R}) + \frac{k}{j\omega} + \frac{(Bl)^2}{R_e + j\omega L_e} \right] \cdot \underline{\dot{X}} }

Il s’agit d’une égalité entre termes de la dimension d’une force, soit une énergie par unité de longueur. En divisant par la surface du haut-parleur S, on obtient donc une égalité entre pressions (le Pascal est une énergie par unité de volume):

\displaystyle{ \frac{(Bl)\cdot\underline{U}}{S(R_e+j\omega L_e)} = \left[ \frac{ j\omega (m+2m_\text{R})}{S^2} + \frac{\alpha + 2R_\text{R}}{S^2} + \frac{k}{j\omega S^2} + \frac{(Bl)^2}{S^2(R_e + j\omega L_e)} \right] \cdot \underline{Q}}

où \underline{q} = S \cdot \dot{\underline{x}} = \underline{Q} \exp{(j \omega t)} est le débit du haut-parleur.

Aux basses-fréquences (\omega \ll R_e/L_e), le terme de gauche est indépendant de la fréquence:

\displaystyle{ \frac{(Bl)\cdot\underline{U}}{S\cdot R_e} = \left[ j\omega \frac{m + 2m_\text{R}}{S^2} + \frac{\alpha + 2R_\text{R}}{S^2} + \frac{1}{j\omega} \frac{k}{S^2} + \frac{(Bl)^2}{S^2\cdot R_e} \right] \cdot \underline{Q}}

On obtient alors une équation “électrique” décrivant une association en série de quatre résistances, un condensateur et une bobine :

\displaystyle{ \underline{P}_g = \left(R_{ae} + R_{as} + \frac{1}{j\omega \, C_{as}} + j\omega M_{as}+R_{ar,1}+R_{ar,2} \right) \cdot \underline{Q}}

Avec :

• L’équivalent de la tension est la pression excitatrice \underline{p}_g=\underline{P}_g \exp (j\omega t) avec \underline{P}_g = \frac{(Bl)\cdot\underline{U}}{S\cdot R_e}, exprimée en Pascals.
• Le courant correspondant est le débit \underline{q} = \underline{Q} \exp (j\omega t), en \text{m}^3/\text{s}
• Les résistances acoustiques sont, en \text{Pa}\cdot\text{s}/\text{m}^3:
  • R_{ae}=\frac{(Bl)^2}{S^2 R_e} (pertes électriques dans la bobine)
  • R_{as}=\frac{\alpha}{S^2} (pertes par frottements)
• La compliance acoustique (équivalent d’une capacité) est, en \text{m}^3/\text{Pa} : C_{as}=\frac{S^2}{k}. La compliance, très utilisée en acoustique, est l’inverse de la raideur.
• La masse acoustique (équivalent d’une inductance) est, en \text{kg}/\text{m}^4 : M_{as}=\frac{m + 2m_\text{R}}{S^2}
• Les résistances acoustiques de rayonnement avant R_{ar,1}=\frac{R_\text{R}}{S^2} et arrière R_{ar,2}= R_{ar,1}

L’indice s suivant l’indice “acoustique” a correspond au haut-parleur (speaker) seul. Nous le changerons pour un b (box) lorsqu’il sera encastré dans un caisson et que les grandeurs correspondantes en seront modifiées.

On peut maintenant résoudre le problème physique par analogie avec un circuit électrique. Le circuit équivalent est le suivant :

Débit acoustique

Nous pouvons ici aussi, compte tenu du faible rendement des haut-parleurs,négliger les résistances de rayonnement dans le calcul du débit du haut-parleur. La fonction de transfert du haut-parleur s’écrit alors :

\displaystyle{  \underline{Q} = \frac{1}{R_{ae} + R_{as} + \frac{1}{j\omega \, C_{as}} + j\omega M_{as}}\cdot \underline{P}_g }

\displaystyle{ \iff \underline{Q} = \frac{1}{( j\omega)^2 C_{as} M_{as} + j \omega C_{as}R_{ae} + j \omega C_{as}R_{as} + 1} \cdot j \omega C_{as} \underline{P}_g }

C’est la fonction de transfert d’un oscillateur amorti par les termes résistifs, qui se comporte donc comme un filtre passe-bande. Sa pulsation de résonance est : \omega_s^2 = 1/(C_{as}M_{as}) = k/(m + 2m_\text{R}) = \omega_0^2. La résonance du débit a donc lieu a la fréquence correspondant au pic d’impédance électrique.

Posons :

• \nu = \omega / \omega_s  la pulsation réduite ;
• Q_{es} =\frac{1}{\omega_s C_{as}R_{ae}}  le facteur de qualité électrique (pour le Monacor étudié Q_{es} = 1,11) ;
• Q_{ms} =\frac{1}{\omega_s C_{as}R_{as}}  le facteur de qualité mécanique (pour le Monacor : Q_{ms}= 5,0).

L’expression du débit devient :

\displaystyle{ \underline{Q} = \frac{j\nu}{( j\nu)^2 + j\nu \left(\frac{1}{Q_{es}}+ \frac{1}{Q_{ms}}\right) + 1} \cdot \omega_s C_{as} \underline{P}_g }

Posons enfin Q_{ts}   le facteur de qualité total tel que \frac{1}{Q_{ts}} = \frac{1}{Q_{es}} + \frac{1}{Q_{ms}} (pour l’exemple, on a Q_{ts} = 0,91 ):

\displaystyle{\boxed{ \underline{Q} = \frac{j\nu}{( j\nu)^2 +\frac{j\nu}{Q_{ts}} + 1} \cdot \omega_s C_{as} \underline{P}_g }}

Puissance rayonnée

On sait que :

\displaystyle{ \mathcal{P}_{ar} = R_\text{R} V_\text{eff}^2 = \frac{R_\text{R}}{S^2} Q_\text{eff}^2 = \frac{R_\text{R}}{2 S^2} |Q|^2}

Par ailleurs R_\text{R} = \rho_0 c S \sigma. Il vient :

\displaystyle{ \mathcal{P}_{ar} = \frac{\rho_0 c \sigma}{2 S} |Q|^2}

Nous sommes ici en approximation basse fréquence vis à vis des caractéristiques du haut-parleur (\omega \ll \frac{R_e}{L_e}). Les basses fréquences vis à vis des caractéristiques acoustiques sont définies par ka \ll 1 \iff \omega \ll \frac{c}{a} (a étant le rayon du haut-parleur).

Pour notre exemple, on a a = \sqrt{S/\pi} = 0,066 \, \text{m} : \omega \ll \frac{c}{a} \approx 5 000 \, \text{rad}\cdot \text s ^{-1} \approx 800 \, \text{Hz}

Ces deux approximations sont donc du même ordre de grandeur. Dans leur respect ( f < 300 \, \text{Hz}), le facteur de rayonnement du haut parleur bafflé est bien, comme on l’a déjà utilisé plus haut, \sigma \approx \frac{a^2 k^2}{2} = \frac{S}{2\pi c^2}\omega^2. Il vient :

\displaystyle{ \mathcal{P}_{ar} = \frac{\rho_0 }{4\pi c}\omega^2|Q|^2 }

La courbe de réponse du haut-parleur en basse fréquence est alors, en injectant l’expression de l’amplitude du débit :

\displaystyle{ \boxed{ \mathcal{P}_{ar} = \frac{\rho_0 \left( \omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g \right) ^2}{4\pi c} \left|\underline{H}_P\right|^2} \hspace{1cm} \text{avec} \hspace{1cm} \boxed{\underline{H}_P = \frac{\nu^2}{( j\nu)^2 +\frac{j\nu}{Q_{ts}} + 1} }}

Sous la forme a+jb, la fonction de transfert s’écrit :

\displaystyle{ \underline{H}_P = \frac{ \displaystyle{\frac{\nu^3}{Q_{ts}}}+j \nu^2 (1-\nu^2)} {\nu^4 + \nu^2 \left(-2 + \displaystyle{\frac{1}{Q_{ts}^2}} \right) + 1} }

Le carré de son module est :

\displaystyle{ |\underline{H}_P|^2 = \frac{\nu^4} {\nu^4 + \nu^2 \left(-2 + \displaystyle{\frac{1}{Q_{ts}^2}} \right) + 1} }

À basse fréquence \nu \rightarrow 0, un développement limité donne : |\underline{H}_P|^2 \approx \nu^4. Le comportement asymptotique du niveau sonore est donc une droite de pente 12 dB/octave (la puissance est en effet multipliée par 2^4=16  lorsque la fréquence double).

L’allure du carré du module de la fonction de transfert est la suivante :

On voit sur l’expression précédente qu’il n’y aura de résonance (courbes rouge et violette ci-dessus) que si -2 + \frac{1}{Q_{ts}^2} < 0 \iff Q_{ts} > 1/\sqrt{2}. Un bon haut-parleur assurera une transition douce vers les graves et ne présentera donc pas de pic de puissance prononcé : il aura un facteur de qualité maximal Q_{ts} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}.

La coupure à 3\,\text{dB} se produit pour |\underline{H}_P|^2 = \frac{1}{2}, soit pour :

\nu_3^2 = \left( \frac{1}{2Q_{ts}^2}-1\right) + \sqrt{1+\left( \frac{1}{2Q_{ts}^2}-1\right)^2}

En valeurs numériques :

Pour qu’il assure aussi une puissance maximale jusqu’à la coupure (au contraire des courbes bleue et orange qui s’effondrent tôt), un bon haut parleur aura donc un facteur de qualité total proche de Q_{ts} \approx 1/\sqrt{2} \approx 0,7 (courbe verte).

Notre haut-parleur d’étude, de Q_{ts} \approx 0,9, est proche de la courbe rouge. Du point de vue de la coupure à -3 dB dans les basses, il est plutôt bon. De celui d’une transition douce vers le basses, ce n’est pas un excellent choix.

Rendement

Le rendement du haut-parleur est :

\displaystyle{ \eta = \frac{\mathcal{P}_{ar}}{\mathcal{P}_e} }

où \mathcal{P}_e = \frac{U_\text{eff}^2}{|\underline{Z}|} est la puissance électrique consommée par le haut-parleur. Ces grandeurs dépendant de la fréquence, le rendement sera évalué au minimum du module d’impédance, pour lequel |\underline{Z}| \approx R_e et |\underline{H}_P| = 1. Alors :

\displaystyle{ \eta_0 = \frac{\rho_0}{4\pi c} \frac{ \left(\omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g \right) ^2}{U_\text{eff}^2/R_e} }

En développant l’expression de la pression d’excitation, il vient :

\displaystyle{ \eta_0 = \frac{\rho_0}{4\pi c} \frac{ \left(\omega_s^2 C_{as} \frac{(Bl)\sqrt{2}U_\text{eff}}{S\cdot R_e} \right) ^2}{U_\text{eff}^2/R_e} = \frac{\rho_0}{2\pi R_e c} \left( \frac{\omega_s^2 C_{as}(Bl)}{S} \right) ^2 }

Expression qui devient, en fonction uniquement de données constructeur :

\displaystyle{ \boxed{ \eta_0 = \frac{\rho_0}{2\pi R_e c} \left( \frac{S(Bl)}{m + 2m_\text{R}} \right) ^2 }}

L’application numérique pour le woofer étudié donne : \eta_0 = 0,8\%.

Le rendement d’un haut-parleur est généralement inférieur à 1%, ce qui justifie d’une autre manière d’avoir négligé dans les calculs précédents la résistance de rayonnement.

Niveau sonore, sensibilité

En champ lointain, le rayonnement de la membrane est isotrope. L’intensité sonore à une distance r s’obtient donc en divisant la puissance acoustique par la surface de la demi-sphère sur laquelle se dilue l’énergie :

I = \displaystyle{ \frac{\mathcal{P}_{ar}}{2\pi r^2} = \frac{\rho_0}{8\pi^2 c}\left(\frac{\omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g}{r} \right)^2 \left| \underline{H}_P \right|^2 }

Le niveau sonore est, par définition :

L=10\, \log \frac{I}{I_0}

La sensibilité L_1 d’un haut-parleur est le niveau sonore obtenu à une distance de r_0 = 1 \,\text{m} du haut-parleur lorsqu’il est alimenté par une tension efficace U_\text{eff}= 2,83V (qui correspond, pour une impédance de 8 \Omega, à une puissance électrique moyenne \mathcal{P}_e = U_\text{eff}^2/Z=1\,\text{W}). La sensibilité est évaluée dans la plage de fréquence où le haut-parleur est le plus efficace (|\underline{H}_P| = 1).

On peut écrire, avec cette définition :

\displaystyle{ L_1=10\, \log \frac{\eta_0 U_\text{eff}^2 / (2\pi R_e)}{I_0}=10\, \log \frac{ U_\text{eff}^2}{2\pi I_0} + 10\, \log \frac{\eta_0}{R_e} = 121,1 + 10\, \log \frac{\eta_0}{R_e} }

Cette relation donne, appliquée au woofer : L_1 = 91,5\,\text{dB}.

Déplacement de la membrane

L’excursion de la membrane \underline{x} = \underline{X} \exp (j \omega t) = \frac{\underline{V}}{j\omega} \exp (j\omega t) s’obtient à partir de l’expression du débit :

\displaystyle{ \underline{X} = \frac{\underline{V}}{j \nu \omega_s} = \frac{\underline{Q}}{j \nu \omega_s S} = \frac{1}{j\nu \omega_s S} \frac{j\nu}{( j\nu)^2 +\frac{j\nu}{Q_{ts}} + 1} \cdot \omega_s C_{as} \underline{P}_g }

Soit :

\displaystyle{ \underline{X} = \underline{H}_X \cdot \frac{C_{as} \underline{P}_g}{S} }

avec \displaystyle{ \underline{H}_X = \frac{1}{( j\nu)^2 +\frac{j\nu}{Q_{ts}} + 1} }

dont le module est \displaystyle{ |\underline{H}_X| = \frac{1}{\sqrt{\nu^4 +\nu^2\left(-2+\frac{1}{Q_{ts}^2}\right) + 1} } }

Comme pour la puissance, il n’y aura donc pas de résonance pour un bon haut-parleur de facteur de qualité total égal ou très proche de 1/\sqrt{2}. Dans ce cas, le maximum de déplacement est à \nu=0 :

Valeurs maximales

Tension et puissance électrique

Le déplacement efficace du haut parleur est fonction de la tension imposée par l’amplificateur (présente dans l’expression de la pression d’excitation \underline{P}_g). La tension maximale admissible correspond donc à la tension pour laquelle le haut-parleur atteint son élongation linéaire maximale x_\text{max}.

Mais à quelle fréquence faire ce calcul ?

• D’un côté, le déplacement est maximal aux basses fréquences
• De l’autre, nous avons vu que la puissance s’effondre en attaquant le pic d’impédance du haut parleur.

On peut alors estimer la tension maximale nécessaire en faisant le calcul à la moitié du pic de l’impédance motionnelle : on sélectionne \omega_p tel que |\underline{Z_\text{mot}}|(\omega_p)=\frac{|\underline{Z}|_\text{mot,max}}{2}.

L’expression de l’impédance motionnelle peut se mettre sous la forme :

\displaystyle{ |Z_\text{mot,p}|^2=\left( \frac{R_\text{mot}}{2} \right)^2 = \frac{\omega_p^2 (Bl)^4}{(m + 2m_\text{R})^2\omega_p^4 + (\alpha^2 - 2 (m+2m_\text{R}) k) \omega_p^2 + k^2} }

La résolution de l’équation du second degré en \omega_p^2 conduit dans notre exemple à : f_p = 108 \,\text{Hz}.

Le déplacement de la membrane à prendre en compte pour ce calcul est donc :

\displaystyle{ |\underline{X}| = |\underline{H}_X(\omega_p)| \cdot \frac{C_{as} P_g} {S} }

Injectons l’expression de la pression d’excitation et imposons |\underline{X}|=x_\text{max}:

\displaystyle{ x_\text{max} = |\underline{H}_X(\omega_p)| \cdot \frac{C_{as} (Bl)\cdot U_\text{max}}{S^2\cdot R_e} = |\underline{H}_X(\omega_p)| \cdot \frac{(Bl)\cdot U_\text{max}}{k\cdot R_e} }

Il vient :

\displaystyle{ U_\text{max} = \frac{1}{ |\underline{H}_X(\omega_p)| }\cdot \frac{k R_e x_\text{max}} {Bl} }

On trouve pour le woofer U_\text{max}=22\,\text{V}. La puissance maximale demandée à l’amplificateur est alors \mathcal{P}_{e,\text{max}} = \frac{U_\text{max}^2}{R_e}= 68\,\text W. Cette dernière est calculée non pas au pic d’impédance mais à sa valeur minimale \approx R_e. La fiche du haut-parleur indique 50 \,\text W_\text{RMS} et 100 \,\text W en crête, mais elle ne correspond qu’à des critères électriques et non acoustiques.

Niveau sonore maximal

On peut maintenant recalculer le niveau sonore avec la tension crête maximale que l’on vient d’obtenir :

\displaystyle{ L_\text{max}=10\, \log \frac{ U_\text{max}^2/2}{2\pi I_0} + 10\, \log \frac{\eta_0}{R_e} }

Pour notre woofer, on obtient L_\text{max}=112\,\text{dB}. Comme nous le verrons dans le prochain article, et comme beaucoup d’autres résultats obtenus ici, cette valeur sera modifiée lorsqu’il sera placé dans un caisson.

Hautes fréquences

La puissance rayonnée a été calculée dans l’approximation des basses fréquences. Nous avons en effet utilisé le développement limité du facteur de rayonnement pour ka \ll 1, ce qui correspond à une fréquence limite pour notre exemple f \ll 830 \,\text{Hz}. De plus, la résistance de rayonnement aux hautes fréquences ne sera plus négligeable devant la résistance mécanique. Enfin, a découlé de l’approximation basse fréquence l’émission quasi-isotrope du haut parleur, et nous avons donc négligé sa directivité.

Tous les calculs précédents ne sont donc valables, comme on l’a déjà dit, que pour des fréquences inférieures à quelques centaines de Hertz. Mais le haut-parleur que nous étudions est annoncé pouvoir émettre de 93 Hz (sa fréquence de résonnance) à 5500 Hz.

Comparons le modèle que nous avons élaboré (en rouge) à la courbe de réponse mesurée du haut-parleur :

Si le modèle explicité dans cet article est très efficace pour déterminer les propriétés d’un haut-parleur aux basses fréquences, il s’avère insuffisant pour caractériser sa fréquence de coupure haute et les “accidents” parfois prononcés apparaissant sur la courbe de réponse. Le SP-165PA présente par exemple une chute brutale du niveau sonore autour de 1 kHz, puis des oscillations qui apparaissent au delà de 3 kHz.

Que peut-on prévoir du rayonnement du haut-paleur au delà de l’approximation des basses fréquences ? Ce sera l’objet d’un prochain article d’apporter des éléments de réponse.

Conclusion

Nous avons présenté dans cet article un modèle du haut-parleur électrodynamique encastré dans un baffle infini, permettant de comprendre les phénomènes à l’oeuvre derrière la courbe de réponse et de calculer précisément cette courbe à basse fréquence. Le domaine des basses fréquences est particulièrement utile pour prévoir la fréquence de coupure basse du haut-parleur, la puissance électrique requise, et le niveau sonore maximal attendu.

Dans le prochain article, nous verrons comment sont modifiées ces grandeurs lorsqu’on encastre le haut-parleur dans un caisson pour fabriquer une enceinte acoustique.

Sources

José-Philippe Pérez – Mécanique (DUNOD)

Modélisation électrique et acoustique du haut-parleur : impédance électrique et bande passante acoustique

Francis BROUCHIER – Haut-parleurs et enceintes acoustiques : Théorie et pratique

Jean Fourcade – Utilitaires Scilab pour le calcul et l’optimisation d’enceintes bass-reflex

Après avoir introduit les bases de l’acoustique, nous nous intéresserons dans cet article au rayonnement d’énergie acoustique. Nous verrons comment utiliser les formules d’acoustique déjà établies pour calculer l’intensité sonore générée par un solide en vibration. Nous nous concentrerons sur les trois cas dont nous aurons besoin pour comprendre, plus tard, le rayonnement acoustique d’un haut-parleur : la sphère pulsante, le dipôle acoustique, et le piston encastré.

• Modèle de la sphère pulsante
  • Description
  • Pression et vitesse acoustiques
  • Le monopole acoustique
  • Intensité et niveau sonore
  • Impédance de rayonnement
    • Expression
    • Masse et résistance de rayonnement
  • Facteur de rayonnement
  • Puissance acoustique rayonnée
• Le dipôle acoustique
  • Description
  • Pression acoustique
  • Vitesse acoustique
  • Intensité sonore
• Le piston circulaire bafflé
  • Description
  • Principe de Huygens-Fresnel
  • Pression acoustique
  • Intensité sonore
  • Impédance de rayonnement
  • Puissance acoustique rayonnée
  • Limites du modèle
• Conclusion

Modèle de la sphère pulsante

Description

La source considérée ici est une sphère solide de rayon R dont la surface oscille à la vitesse uniforme \underline{V} = V_0 \exp{(j \omega t)}. L’amplitude des oscillations est supposée faible par rapport au rayon R. La pression de l’air est ainsi perturbée et une onde sonore sinusoïdale se propage.

La symétrie du problème indique que les grandeurs acoustiques ne dépendent que du temps et de la distance r entre l’origine et le point considéré. Les ondes sonores émises par la sphère pulsante sont donc sphériques.

Pression et vitesse acoustiques

Les formules correspondantes dans le cas des ondes sphériques sont :

\displaystyle{ \underline{p} = \frac{\underline{A}}{r} \exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] } }

\displaystyle{ \underline{u}_r = \left( 1 - \frac{j}{kr}\right) \frac{\underline{p}}{\rho_0 c} }

À l’interface entre la sphère et l’air, la vitesse de l’air est égale à celle de la surface de la sphère. La constante \underline{A} peut donc être déterminée. Injectons l’expression de la pression dans celle de la vitesse pour r = R, et égalisons avec l’expression de la vitesse de la surface de la sphère :

\displaystyle{ \underline{u}_r (R) = \left( 1 - \frac{j}{kR}\right) \frac{\underline{A}}{\rho_0 c R} \exp{ \left[ j(\omega t - kR)\right] } = V_0 \exp{(j\omega t)} }

On obtient :

\displaystyle{ \underline{A} = \rho_0 c R V_0 \frac{ \exp{(jkR)} }{1-\frac{j}{kR}} = j \omega \rho_0 R^2 V_0 \frac{ \exp{(jkR)} }{1 + jkR} }

Remarquons que cette “constante” dépend de la fréquence de vibration de la source !

La pression acoustique est donc :

\displaystyle{ \underline{p} = j \omega \rho_0 R^2 V_0 \frac{\exp{(jkR)} }{1 + jkR} \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] }}{r} }

On définit maintenant le débit Q de la source comme le volume déplacé lors de ses vibrations par unité de temps : Q = Q_0 \exp{(j\omega t)} = 4 \pi R^2 V . L’expression de \underline{p} devient :

\displaystyle{ \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 Q_0}{4\pi} \cdot \frac{\exp{(jkR)}}{1 + jkR} \cdot \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] }}{r} }

Quant à celle de la vitesse acoustique \underline{u}:

\displaystyle{ \underline{u}_r = \left( 1 - \frac{j}{kr}\right) \frac{ j \omega Q_0}{4\pi c} \cdot \frac{\exp{(jkR)}}{1 + jkR} \cdot \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] }}{r} = \left( 1 + jkr \right) \frac{ Q_0}{4\pi} \cdot \frac{\exp{(jkR)}}{1 + jkR} \cdot \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] }}{r^2}}

Le monopôle acoustique

Il est difficile de concevoir un haut-parleur dont la membrane est une sphère, et on pourrait douter de l’importance du calcul précédent … Cependant, le modèle de la sphère pulsante nous sera d’une grande utilité pour les deux raisons suivantes :

• Lorsque les longueurs d’onde sont grandes par rapport aux dimensions de l’enceinte, il est vérifié expérimentalement que le rayonnement acoustique produit est très proche de celui d’une sphère pulsante. On peut le vérifier facilement en tournant autour d’une enceinte : les basses fréquences sonnent aussi clairement à l’arrière qu’à l’avant, ce qui n’est pas le cas des aigus.La sphère pulsante est donc un bon modèle pour les graves d’un enceinte, même si seule une partie de la surface de la sphère vibre. Pour les dimensions des radios TSF que nous utilisons, de l’ordre de 50 cm, on pourra décrire correctement par ce modèle des longueurs d’onde supérieures à 1,5m, ce qui correspond en gros à des fréquences inférieures à 200 Hz.
• Enfin, en vertu du principe d’Huygens-Fresnel, on pourra décrire plus bas une source vibrante complexe (la membrane d’un haut-parleur) en la considérant comme une somme de sources élémentaires sphériques.

Remarquons que, dans ces deux applications, les dimensions R de la source sont faibles (relativement pour la première, infinitésimale pour la deuxième). On peut donc simplifier les expressions en faisant tendre le rayon de la sphère vers zéro pour obtenir les expressions du monopôle acoustique :

\displaystyle{ \boxed{ \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 Q_0}{4\pi} \cdot \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] }}{r} }}\displaystyle{\underline{u}_r = \left( 1 + jkr \right) \frac{ Q_0}{4\pi} \cdot \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] }}{r^2}}

Intensité et niveau sonore

Nous avons déjà montré que, pour une onde sphérique : \displaystyle{ I = \frac{p_\text{eff}^2}{\rho_0 c}}

Ainsi, l’intensité sonore de l’onde produite par un monopôle acoustique est :

\displaystyle{\boxed{ I = \frac{\rho_0 }{2c} \left( \frac{ \omega Q_0}{4\pi r} \right)^2 } }

Comme nous l’avions déjà signalé en parlant de l’atténuation géométrique, l’intensité sonore décroît comme le carré de la distance à la source. L’énergie émise se dilue en effet sur une surface qui augmente comme le carré de la distance.

Le niveau sonore généré par le monopôle en découle :

L(r) = 10 \log{ \frac{I(r)}{I_0} } = 10 \log{ \left[ \frac{\rho_0 }{2 I_0 c} \left( \frac{ \omega Q_0}{4\pi r} \right)^2 \right]} = 10 \log{ \left( \frac{\rho_0 }{32 \pi^2 I_0 c}\right) + 20 \log \left( \frac{ \omega Q_0}{r} \right)}

où, après la dernière égalité, les seules grandeurs variables sont regroupées dans le dernier terme.

Enfin, la puissance acoustique \mathcal{P}_\text{s} émise par la source est calculable en sommant l’intensité sonore sur une sphére centrée sur la source de rayon r\prime quelconque :

\mathcal{P}_\text{ac} = 4\pi r\prime^2 I(r\prime) \iff \displaystyle{\boxed{ \mathcal{P}_\text{ac} = \frac{\rho_0 }{8\pi c} \left( \omega Q_0\right)^2 }}

Impédance de rayonnement

Expression

Retournons à la sphère pulsante de rayon R non infinitésimal. En vibrant, elle génère des variations de pression de l’air dans son voisinage. Ces variations de pression génèrent, à leur tour, une force sur la surface de la source. Il y a donc un phénomène de couplage entre la source et le milieu qu’elle perturbe.

Cette force s’écrit naturellement : \underline{f} = - \underline{p}(R) \cdot S

où S = 4 \pi R^2  est la surface de la sphère pulsante, et où le signe négatif provient du fait que la force exercée par l’air est dirigée vers les r décroissants.

On a montré que :

\displaystyle{ \underline{p}(R) = j \omega \rho_0 R^2 V_0 \frac{\exp{(jkR)} }{1 + jkR} \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kR) \right] }}{R} = \rho_0 R j \omega V_0 \exp{ (j\omega t)} \frac{1 }{1 + jkR}}

On a vu que le modèle de la sphère pulsante n’était valide qu’aux basses fréquences, soit kR \ll 1. Un développement limité au premier ordre mène à \left( 1 + jkR \right)^{-1} \approx 1 - jkR :

\displaystyle{ \underline{p}(R) \approx \rho_0 R (1 - jkR) j \omega V_0 \exp{ (j\omega t)} = \rho_0 (1-jkR) j \omega \underline{V} = \left[ \frac{\rho R \omega^2}{c} + j \omega \rho_0 R \right] \underline{V} }

La force exercée par l’air sur la structure vibrante est ainsi :

\underline{f} = \left[- \frac{\rho R S \omega^2}{c} - j \omega \rho_0 R S \right] \underline{V}

On définit l’impédance de rayonnement Z_{\text{ray}} comme le rapport de la force \underline{f}\prime = -\underline{f} exercée par la surface vibrante sur l’air sur la vitesse acoustique \underline{u}(R) = \underline{V}(R) générée :

\displaystyle{ Z_{\text{R}} = \frac{-\underline{f}}{\underline{u}} = \frac{\rho R S \omega^2}{c} + j \omega \rho_0 R S}

Cette grandeur traduit la résistance qu’a l’air à vibrer sous l’action de la force.

Masse et résistance de rayonnement

Remarquons enfin que j \omega V_0 \exp{ (j\omega t)} correspond à l’accélération \underline{a} d’un point de la surface vibrante, de sorte que la force peut s’écrire :

\displaystyle{ \underline{f} \approx -\rho_0 R S \underline{a} - \frac{\rho_0 R^2 \omega^2 S}{c} \underline{V} }

Le coefficient \rho_0 R S de l’accélération est homogène à une masse qu’on nommera masse de rayonnement m_\text{R}. Le deuxième terme, quant à lui, est une force de frottement fluide du type -R_\text{R} \underline{V}. R_\text{R} = \frac{\rho_0 R^2 \omega^2 S}{c} est appelée la résistance de rayonnement.

Ainsi, lorsqu’on cherchera l’équation du mouvement de l’équipage mobile d’un haut parleur, la deuxième loi de Newton s’écrira :

m \underline{a} = \Sigma \left(\text{autres forces}\right) + \underline{f}

\iff (m + m_\text{R}) \underline{a} = \Sigma \left(\text{autres forces}\right) - R_\text{R} \underline{V}

La masse de rayonnement s’interprète comme une masse d’air se mouvant de concert avec la source vibrante. La résistance de rayonnement quant à elle est le coefficient de frottement traduisant la conversion d’énergie mécanique en énergie acoustique : elle explique le rayonnement acoustique de la structure.

Avec ces notations, l’impédance de rayonnement s’écrit :

\displaystyle{ \boxed{ Z_{\text{R}} = R_\text{R} + j \omega \, m_\text{R} }}

où

\displaystyle{R_\text{R} = \frac{\rho_0 S^2\omega^2 }{4\pi c} } \hspace{2cm}m_\text{R}= \rho_0 \frac{S^{3/2}}{2\sqrt{\pi}}

Si la masse de rayonnement de la sphère pulsante a la bienveillance d’être constante, il n’en est pas de même pour la résistance de rayonnement qui varie comme le carré de la pulsation. On voit sur son expression que la conversion d’énergie mécanique de vibration de la source en énergie acoustique se fera très mal à basses fréquences. Voyons cela en détail.

Facteur de rayonnement

Le facteur de rayonnement \sigma quantifie le rendement de la conversion d’énergie mécanique de vibration en énergie acoustique. On le définit par la relation :

\displaystyle{ \boxed{ \sigma = \frac{\mathcal P_\text{ac}}{\rho_0 c S V_\text{eff}^2} }}

où le dénominateur correspond à la puissance acoustique de l’onde plane générée par un plan infini en vibration à la même vitesse, mesurée sur une surface égale à celle de la source. Or, pour la sphère pulsante, nous avons vu plus haut que :

\displaystyle{ \mathcal{P}_\text{ac} =\frac{\rho_0 \omega^2 S^2 V_0^2}{8\pi c} }

Ainsi, le facteur de rayonnement d’une sphère pulsante est :

\displaystyle{ \sigma = \frac{S \omega^2}{4\pi c^2} = R^2 k^2 }

L’efficatité du transfert de puissance varie donc comme le carré de la pulsation : elle sera faible dans les basses, comme cela a déjà été signalé.

Notons que la résistance acoustique peut s’écrire en fonction du facteur de rayonnement :

R_\text{R} = \rho_0 c S \sigma

Un fait important est à signaler ici. Une seule caractéristique du haut-parleur intervient dans la résistance acoustique et le facteur de rayonnement : son diamètre (et donc sa surface). En terme d’efficacité du transfert d’énergie mécanique de vibration vers l’énergie acoustique, le diamètre du haut-parleur est donc le seul facteur sur lequel on peut jouer.

Pour compenser une faible efficacité du transfert avec un petit haut-parleur, certains fabricants proposent d’augmenter la vitesse à laquelle vibre la membrane. Pour une même fréquence de vibration, cela consiste à augmenter l’excursion de la membrane du haut-parleur. Mais il faut bien voir que, dans la formule donnant la puissance acoustique, la surface est au carré et donc le diamètre à la puissance quatre : pour obtenir une puissance identique avec un haut-parleur de diamètre deux fois plus faible, il faudrait augmenter l’excursion maximale d’un facteur quatre. En regardant les caractéristiques des haut-parleurs “à grande excursion”, on se rend compte qu’ils sont loin de pouvoir rivaliser avec de grands haut-parleurs en terme de rendu de basse.

Puissance acoustique rayonnée

Nous pouvons maintenant retrouver l’expression de la puissance émise à partir des résultats précédents. La force de frottement fluide -R_\text{R}\underline{V} décrite par la résistance de rayonnement est responsable de l’émission d’ondes acoustiques.

La puissance acoustique s’obtient en prenant le produit scalaire de la force exercée par la source sur l’air avec la vitesse de l’air à l’interface, sa moyenne est donc :

\displaystyle{ \mathcal{P}_\text{ac} = \frac{1}{T} \, \int_0^T \Re(R_\text{R}\underline{V})\, \Re(\underline{V} )\text{d}t = R_\text{R}\frac{1}{T} \, \int_0^T \Re(\underline{V}\,\underline{V}^*) \text{d}t = R_\text{R} \frac{V_0^2}{2} }

Soit :

\boxed{\mathcal{P}_\text{ac} = R_\text{R}V_\text{eff}^2 }

En injectant l’expression de la résistance de rayonnement, on retrouve l’expression déjà calculée plus haut :

\displaystyle{ \mathcal{P}_\text{ac} = \frac{\rho_0 R^2 \omega^2 S}{c}\frac{V_0^2}{2} = \frac{\rho_0 }{8\pi c} \left( \omega Q_0\right)^2 }

Le dipôle acoustique

Description

On obtient un dipôle acoustique en plaçant à une faible distance L \ll \lambda l’un de l’autre deux monopôles vibrant en opposition de phase. On voit ici l’intérêt de la modélisation dans ce blog : lorsque la membrane d’un haut-parleur se déplace vers la droite, elle génère une surpression à droite et une dépression à gauche. Un haut-parleur non monté dans un caisson se comporte donc comme un dipôle.

La belle et simple symétrie sphérique du monopôle fait donc place à une symétrie cylindrique : les grandeurs physiques dépendront ici, en plus de la coordonnée r, de la coordonnée \theta.

Les deux sources en opposition de phase génèreront des interférences. En particulier, on peut déjà voir que, si l’observateur se place à \theta = \frac{\pi}{2}, il recevra au même instant les contributions opposées des deux monopôles : l’intensité sonore sera nulle.

Avant de rentrer dans les détails, voyons les conséquences dramatiques en terme de basses pour les haut-parleurs. Pour que la pression acoustique soit maximale, plaçons l’observateur sur l’axe y. Pour les grandes longueurs d’onde, la différence de marche entre les deux ondes sera faible : les ondes acoustiques générées par les deux monopôles s’annuleront presque en totalité. L’exemple ci-dessous indique le résultat de cette superposition pour une onde de fréquence f = 50 \,\text{Hz} et une distance L = 5 \, \text{cm}. Les courbes en pointillé indique la pression qu’on observerait avec chacun des monopôles émettant seul, la courbe verte est le résultat de la superposition des ondes acoustiques.

La pression acoustique est divisée par 20 entre le monopôle est le dipôle dans cet exemple : le niveau sonore produit par le dipole est donc 20 \,\log 20 = 26 \text{dB} en deça de celui produit par un monopôle de même débit !

Pression acoustique

Nommons Q_+ = Q_0 \exp{(j \omega t)} et Q_- = -Q_0 \exp{(j \omega t)} les débits acoustiques des deux sources, opposés puisqu’elles vibrent en opposition de phase. La pression acoustique obtenue est bien sûr la somme des pressions acoustiques provenant de chacun des monopôles :

\displaystyle{ \underline{p} = \underline{p}_+ + \underline{p}_- = \frac{ j \omega \rho_0 Q_+}{4\pi} \cdot \frac{\exp{ \left[-j kr_+ \right] }}{r_+} + \frac{ j \omega \rho_0 Q_-}{4\pi} \cdot \frac{\exp{ \left[ - j kr_- \right] }}{r_-} }

\displaystyle{ \iff \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 Q_0}{4\pi} \cdot \left( \frac{\exp{ \left[- jkr_+ \right] }}{r_+} - \frac{\exp{ \left[ -jkr_- \right] }}{r_-} \right) \exp{(j \omega t)} }

On a r_+ et r_- proches de r, effectuons donc un développement de Taylor du terme entre parenthèses :

\frac{\exp (- jkr_+ ) }{r_+} \approx \frac{\exp (- jkr) }{r} + (r_+ - r) \frac{ \partial}{ \partial r} \left( \frac{\exp{(-jkr_+)}}{r_+}\right)_{r_+=r}

\iff \frac{\exp (- jkr_+ ) }{r_+} \approx \frac{\exp (- jkr) }{r} + (r_+ - r) (-\frac{1}{r}-jk) \frac{\exp{(-jkr)}}{r}

On fait de même pour le terme contenant les r_-, et on obtient :

\frac{\exp{ \left[- jkr_+ \right] }}{r_+} - \frac{\exp{ \left[ -jkr_- \right] }}{r_-} \approx (r_+ - r_-) (-\frac{1}{r^2}-\frac{jk}{r}) \exp (-jkr)

Exprimons maintenant r_+ -r_- en s’appuyant sur le schéma ci-dessous et sur le bon vieux théorème de Pythagore.

En notant (x,\,y) les coordonnées cartésiennes du point Md’observation :

r_+^2 - r_-^2 = \left( x^2 + \left( y + \frac{L}{2}\right)^2\right) - \left( x^2 + \left( y - \frac{L}{2}\right)^2\right) = 2Ly = 2L r \cos \theta

Par ailleurs : r_+^2 - r_-^2 = (r_+ - r_-)(r_+ + r_-) \approx 2r(r_+ - r_-) d’où r_+ - r_- \approx L \cos \theta.

Il vient alors pour la pression acoustique :

\displaystyle{ \underline{p} = -\frac{ j \omega \rho_0 Q_0}{4\pi} \cdot L \cos \theta \left(\frac{1}{r^2}+\frac{jk}{r}\right) \exp (-jkr) \exp{(j \omega t)} }

Soit :

\displaystyle{\boxed{ \underline{p} = \frac{ k^2 \rho_0 c L Q_0}{4\pi r} \, \cos \theta \, \left(1 + \frac{1}{jkr}\right) \exp [j(\omega t - kr)] }}

Contrairement au rayonnement du monopôle, deux termes apparaissent ici : un terme en 1/r^2 dominant en champ proche (kr \gg 1), et un terme en 1/r dominant en champ lointain (kr \ll 1). La limite définissant le champ lointain dépend bien sûr de la fréquence. Mais, pour une distance typique d’écoute de 3m, à 40 Hz :

kr = \frac{\omega}{c}r = \frac{2 \pi f}{c}r = \frac{2 \pi \times 40}{343}\times 3 = 2,19 > 1

La contribution du champ proche sera donc faible pour les graves et totalement négligeable pour les aigus : nous sommes davantage intéressés par le champ lointain pour lequel

\displaystyle{ \underline{p}_\text{CL} = \frac{ k^2 \rho_0 c L Q_0}{4\pi r} \, \cos \theta \, \exp [j(\omega t - kr)] }

Vitesse acoustique

Nous partons comme d’habitude de l’équation d’Euler linéarisée :

\displaystyle{\rho_0 j \omega\cdot \vec{\underline{u}} = - \vec{\nabla}\underline{p} }

avec en coordonnées cylindriques \vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial r} \vec{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} \vec{e}_\theta.

Il vient pour la coordonnée radiale :

\displaystyle{ \underline{u}_r = -\frac{1}{j \omega \rho_0} \frac{\partial}{\partial r}\underline{p} }

\displaystyle{ \iff \underline{u}_r = \frac{k^2 Q_0 L}{4\pi r} \cos \theta \left( 1 + \frac{2}{jkr} - \frac{2}{(kr)^2} \right) \exp \left[j(\omega t - kr)\right] }

La coordonnée suivant \theta est quant à elle :

\displaystyle{ \underline{u}_\theta = -\frac{1}{j \omega r \rho_0} \frac{\partial}{\partial \theta}\underline{p} }

\displaystyle{ \iff \underline{u}_\theta = \frac{j k Q_0 L}{4\pi r^2} \sin \theta \left( 1 + \frac{1}{ jkr} \right) \exp \left[j(\omega t - kr)\right] } .

Intensité sonore

Seule la coordonnée radiale de la vitesse acoustique est à prendre en compte dans le calcul, puisque l’intensité sonore correspond à la puissance traversant une surface unité orthogonale à la direction de propagation de l’onde. Tous calculs faits, on obtient :

\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \Re (\underline{p}\,\underline{u}_r^*) = \frac{\rho_0}{2c^3} \left( \frac{\omega^2 L Q_0}{4\pi r} \right)^2 \cos^2 \theta }

Le niveau sonore s’en déduit comme d’habitude :

L = 10 \, \log\left(\frac{I}{I_0}\right)

Le diagramme de rayonnement d’un dipôle acoustique est représenté ci-dessous:

Puissance acoustique

On l’obtient par intégration de l’intensité sonore sur une sphère centrée sur l’origine, l’élément de surface en coordonnées sphériques étant : \text{d}S = \sin(\theta) r^2 \text{d}\theta \text{d}\phi :

\mathcal{P}_ \text{ac} = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} I(r) \sin(\theta) r^2 \text{d}\theta \text{d}\phi

\iff \mathcal{P}_ \text{ac} = \frac{\rho_0c}{16 \pi} \left(k^2LQ_0 \right)^2 \int_0^{\pi} \cos^2 (\theta) \sin(\theta) \text{d}\theta

\iff \boxed{ \mathcal{P}_ \text{ac} = \frac{\rho_0 c \omega^4}{24 \pi c^3} \left(LQ_0 \right)^2 }

Elle dépend, comme l’intensité acoustique, de la puissance 4 de la pulsation, alors que l’expression de la puissance acoustique pour le monopôle variait comme \omega^2.

La comparaison des deux expressions, à débits identiques, mène à :

\displaystyle{ \frac{\mathcal{P}_\text{monopôle}}{\mathcal{P}_\text{dipôle}} = \frac{3}{(kL)^2}}

Aux basses fréquences, ce rapport est grand : le dipôle est nettement moins efficace que le monopôle pour transférer son énergie à l’air. Ce résultat était déjà bien visible sur le diagramme de rayonnement.

Cela est dû, comme on l’a déjà dit, aux interférences destructives entre les deux ondes sonores. Pour un haut-parleur non monté, qui se comporte donc comme un dipôle, on parle de court-circuit acoustique pour décrire ce phénomène de réduction sensible de la puissance dans les graves : on voit bien la nécessité d’insérer le gaut-parleur dans un caisson pour supprimer l’onde arrière. Nous y reviendrons dans un article sur les enceintes closes.

Le piston circulaire bafflé

Description

Nous établirons ici un modèle du rayonnement d’une membrane de haut-parleur. Afin de se débarrasser de l’onde arrière et du court-circuit acoustique associé, la membrane sera considérée encastrée dans un plan (y,\, z) infini. Les fabricants d’enceintes diront que le haut-parleur est bafflé.

La membrane elle même sera modélisée comme un piston circulaire de rayon a et de surface S=\pi a^2 et sera à ce titre considérée comme plane et indéformable. De cette manière, tous les points de la membrane auront la même vitesse \vec{\underline{V}}(t) = V_0 \exp(j\omega t) et vibreront donc en phase.

Enfin, nous nous limiterons au calcul en champ lointain : on supposera kr \gg 1.

La situation étant symétrique par rotation autour de l’axe (Oy), il suffira de calculer les grandeurs acoustiques mesurées par des observateurs M situés dans le plan (y, \,z), dont les coordonnées polaires sont M(r, \,\theta).

Ce modèle est résumé sur la figure suivante :

Nous discuterons des limites de cette modélisation en fin de section.

Principe de Huygens-Fresnel

Nous avons ici à calculer les grandeurs acoustiques dues à une source étendue. La démarche pour attaquer un tel problème est la même qu’en optique pour l’étude de la diffraction. Le principe de Huygens-Fresnel stipule qu’une source étendue de surface S peut être décomposée en sources élémentaires sphériques de surfaces élémentaires \text{d}S. Les grandeurs acoustiques mesurées en M seront la somme des contributions des sources élémentaires.

Nous disposons déjà des sources élémentaires sphériques : il s’agit bien évidemment des monopôles acoustiques. Une subtilité s’introduit cependant ici. Les monopoles émettent sur la surface supposée parfaitement rigide du piston : l’onde émise vers le demi-espace y<0 est donc réfléchie vers l’avant de la membrane. Ainsi, la pression et la vitesse acoustiques mesurées à l’avant de la membrane seront deux fois plus importantes, tandis qu’elles seront nulles à l’arrière.

La formule de la pression acoustique établie en début d’article devient :

\displaystyle{ \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 V_0\text{d}S}{2\pi} \cdot \frac{\exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] }}{r} }

Pression acoustique

Il s’agit donc d’intégrer au point d’observation M l’ensemble des contributions des sources élémentaires repérées par leurs coordonnées polaires (\mathcal{l}, \, \psi) dans le plan (x, \, z) :

\displaystyle{ \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 V_0}{2\pi} \exp ( j\omega t) \int_0^{2\pi} \int_0^a \frac{\exp (- j k u)}{u} l\text{d}l \text{d}\psi }

Dans l’approximation du champ lointain M est à l’infini, \vec{u} et \vec{r} sont donc quasiment colinéaires. La figure ci-dessous représentant le plan contenant l’origine, M et \text{d}S permet de voir que u \approx r - l \cos \delta.

Par ailleurs, les relations de trigonométrie sphérique permettent d’écrire : \cos \delta = \cos \theta \cos \psi. L’expression de la pression devient :

\displaystyle{ \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 V_0}{2\pi} \frac{\exp \left[ j(\omega t- kr)\right] }{r} \int_0^{2\pi} \int_0^a \exp ( j k l \cos \theta \cos \psi) l\text{d}l \text{d}\psi }

\iff \displaystyle{ \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 V_0}{2\pi} \frac{\exp \left[ j(\omega t- kr)\right] }{r} \int_0^a l \left( \int_0^{2\pi} \exp ( j k l \cos \theta \cos \psi) \text{d}\psi \right) \text{d}l }

Nous venons de tomber sur des fonctions de Bessel J_n régulièrement rencontrées en physique dans des problèmes à symétrie cylindrique, et dont les résultats sont connus :

\left\{ \begin{array}{ll} J_0(X) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \exp (j X \cos \psi) \text{d}\psi \\ J_1(X) = \frac{1}{X} \int_0^X u \, J_0(u) \text{d}u \end{array} \right.

La double intégrale devient :

2\pi \int_0^a l J_0 \left(kl\cos\theta\right) \text{d}l

Puis, en posant u = kl\cos\theta :

\frac{2\pi}{k^2\cos^2\theta} \int_0^{ka\cos\theta} u \, J_0 (u)\, \text{d}u = \frac{2\pi a}{k\cos\theta}J_1 (ka\cos\theta) = S\cdot \frac{2J_1(ka\cos\theta)}{ka\cos\theta}

La pression acoustique au point M s’écrit donc :

\displaystyle{ \underline{p} = \frac{ j \omega \rho_0 Q_0}{2\pi} \frac{\exp \left[ j(\omega t- kr)\right]}{r} D(\theta) }

avec \displaystyle{ D(\theta) = \frac{2 J_1(ka \cos\theta)}{ka \cos \theta} } le facteur de directivité.

On retrouve l’expression de la pression acoustique pour un monopole émettant dans un demi-espace assorti dufacteur de directivité dépendant de \theta. Contrairement au dipôle, la directivité dépend ici de la fréquence de l’onde émise. L’allure du terme D(\theta) est donné sur la figure suivante :

Le haut-parleur reste peu directif aux faibles valeurs de ka, puis devient directif et des lobes secondaires apparaissent aux hautes fréquences.

Intensité sonore

La pression acoustique est le produit de la pression acoustique d’une onde sphérique par un nombre réel. On a donc :

\displaystyle{\boxed{ I = \frac{p_\text{eff}^2}{\rho_0 c} = \frac{ \rho}{2c} \left( \frac{\omega Q_0}{2\pi r} \right)^2 D(\theta)^2}}

Aux basses fréquences, l’émission est isotrope dans le demi-espace et D(\theta) \approx 1. On a alors pour un même débit :

I \approx 4 I_\text{monopôle}

Un facteur 2 provient d’une émission sur un demi-espace au lieu de l’espace entier, un autre s’explique par une résistance de rayonnement double (voir plus bas). Notons dès maintenant qu’il y aura une différence de 6dB dans le niveau sonore entre une émission monopolaire et une émission en piston bafflé, toute chose égale par ailleurs.

Le diagramme de rayonnement a l’allure suivante :

La pression est divisée par \sqrt{2} à u = 1,6 : l’intensité sonore est alors divisée par deux et le niveau sonore a chuté de 3 dB. Définissons la demi-ouverture du faisceau par l’angle \eta = \frac{\pi}{2} - \theta_{-3\text{dB}} :

• En deça de ka = 1,6, \theta_{-3\text{dB}} n’a pas d’existence et /eta = \frac{\pi}{2} : le haut parleur a une émission quasi-isotrope dans le demi-espace avant.
• Au-delà, on a \eta = \frac{\pi}{2} - \arccos \frac{1,6}{ka}.
• Il reste peu directif jusqu’à ka=3,9.
• Il devient très directif au-delà.

Impédance de rayonnement

Un long calcul aboutit au résultat suivant :

Z_\text{R} = \rho c S \left[ \sigma + j x_\text{R} \right]

avec le facteur de rayonnement \sigma = 1 - \frac{J_1 (2ka)}{ka} et x_\text{R} = \frac{S_1 (2ka)}{ka}

où J_1 est la fonction de Bessel d’orde 1 et S_1 celle de Struve. Le facteur de rayonnement est donc faible pour ka \ll 1 : le transfert d’énergie mécanique de la membrane en énergie acoustique se fait mal à basses fréquences, tant que la longueur d’onde de l’onde acoustique est supérieure à la dimension du piston. Le facteur de rayonnement tend ensuite vers 1 pour les hautes fréquences.

Ces deux fonctions sont représentées ci-dessous (les axes ont une échelle logarithmique) :

La résistance de rayonnement est donc R_\text{R} = \rho c S \sigma

La masse de rayonnement est quant à elle m_\text{R} = \rho c S x_\text{R} / \omega : elle varie avec la fréquence, contrairement à ce que nous avions vu pour la sphère pulsante. Elle est représentée ci-dessous (en g) pour un haut parleur de 14 cm de diamètre : elle est quasiment constante pour les basses fréquences puis chute autour de ka \approx 1 pour tendre vers zéro aux hautes fréquences.

Aux basses fréquences, un développement limité au premier ordre donne :

\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll} \sigma \approx \frac{1}{2}(ka)^2 \\ x_\text{R} \approx \frac{8}{3\pi}ka \end{array} \right. \hspace{1cm} \text{d'où} \hspace{1cm} \left\{ \begin{array}{ll} R_\text{R} \approx 2\frac{\rho_0 S^2 \omega^2 }{4\pi c} \\ m_\text{R} \approx \frac{8}{3} \rho a^3 = \frac{16}{3\pi} \frac{\rho_0 S^{3/2}}{2\sqrt{\pi}} \end{array} \right.}

La résistance de rayonnement aux basses fréquence du piston bafflé est donc égale à celle d’un monopôle de même rayon émettant à la surface d’un plan parfaitement rigide. La masse de rayonnement est elle différente mais proche de celle d’un monopôle acoustique de même rayon émettant à la surface d’un plan parfaitement rigide (16/3\pi \approx 1,7).

Puissance acoustique rayonnée

Elle se calcule comme plus haut :

\displaystyle{\mathcal{P}_\text{ac} = R_\text{R} \, V_\text{eff}^2 = \rho c S \sigma \frac{V_0^2}{2} = \rho c S \left(1 - \frac{J_1 (2ka)}{ka}\right) \frac{V_0^2}{2} }

Soit :

\displaystyle{\boxed{ \mathcal{P}_\text{ac} = \frac{\rho c Q_0^2}{2\pi a^2} \left(1 - \frac{J_1(2ka)}{ka}\right) }}

Son allure, à débit constant, est donc l’allure de la courbe \sigma = f(ka). Mais nous devrons attendre le prochain article pour connaître la dynamique de la membrane et l’expression de son débit en fonction de la fréquence.

Aux basses fréquences, \sigma \approx \frac{1}{2} \left( ka \right)^2, la puissance rayonnée s’écrit alors :

\displaystyle{ \mathcal{P}_\text{ac} \approx \frac{\rho}{4\pi c} \left( \omega Q_0\right)^2=2\mathcal{P}_\text{monopole}}

Ainsi, d’une fait d’une résistance de rayonnement double, la puissance émise aux basses fréquences par un piston bafflé est double de celle émise par un monopôle de même débit.

Limites du modèle

Ces calculs sont valables dans l’approximation d’un piston circulaire plan, parfaitement rigide et encastré dans un plan infini.

• La forme conique des membranes usuelles de haut-parleur n’est pas prise en compte ici. La conséquence pour une membrane rigide est que l’onde émise par la périphérie est en avance de phase par rapport à celle émise au centre.
• La membrane n’est très rigide qu’aux basses fréquences. Lorsque la longueur d’onde de l’onde rayonnée devient petite par rapport aux dimensions de la membrane (\lambda \ll a ou f \gg c/a), d’autres modes de vibration de la membrane sont excités. On parle alors de fractionnement de la membrane : différentes zones vibrent avec différentes phases. Les ondes émises interfèrent et créent des accidents sur la courbe de réponse du haut-parleur.
• L’approximation du plan infini n’est strictement valable que pour des longueurs d’onde très petites par rapport à la taille L du baffle : \lambda \ll L ou f \gg c/L.

Conclusion

Nous avons vu dans cet article les différents modèles de sources sonores qui permettent d’expliquer le rayonnement de la membrane d’un haut parleur.

Le modèle du dipôle a montré qu’il était nécessaire d’enfermer le haut-parleur dans un caisson pour supprimer l’onde arrière et éviter le court-circuit acoustique responsable d’une perte de puissance importante, principalement aux basses fréquences.

Le modèle simple de la sphère pulsante est une bonne approximation du comportement d’une enceinte aux basses fréquences.

Pour les fréquences plus élevées, le modèle plus complet du piston bafflé doit être privilégié.

Aux très hautes fréquences, la membrane fractionne et aucun modèle simple ne peut rendre compte de son comportement exact.

Ces différentes domaines sont récapitulés sur la figure ci-dessous :

Nous sommes dorénavant outillés pour s’intéresser dans le prochain article au haut-parleur électrodynamique !

Sources

Optique – José-Philippe Pérez

Le cours d’acoustique de ECAN Lyon

Rayonnement acoustique – UPMC – Institut Jean Le Rond d’Alembert

Haut-parleurs et enceintes acoustiques : Théorie et pratique – Francis BROUCHIER

• Ondes sonores
  • Production d’une onde sonore
  • Longueur d’onde
  • Equation d’onde
    • Conservation de la masse
    • Equation d’Euler
    • Equation de propagation
    • Célérité des ondes acoustiques
  • Solution sinusoïdale : l’onde plane
  • Pression acoustique efficace
• Energie transportée
  • Intensité sonore
• Ondes sphériques
• Niveau sonore
  • Définition
  • Variations du niveau sonore
  • Niveau de pression acoustique (dB SPL)
• Sensibilité de l’oreille humaine
  • Courbe de Fletcher
  • dB-A
• Superposition de fréquences, spectres
  • Sons purs et complexes
  • Spectre d’un son
  • Timbre d’un instrument
• Conclusion

Ondes sonores

Production d’une onde sonore

Lorsqu’un corps (pour nous, la membrane d’un haut-parleur) vibre en un point d’un milieu (pour nous, l’air), cette vibration est transmise aux autres points, de proche en proche, par contact. Il en résulte une propagation de la vibration dans le milieu, appelée onde.

À gauche de la figure, le haut-parleur est animé d’un mouvement régulier de va-et-vient, de période T et de fréquence f=1/T (nombre de périodes pas seconde). Lorsqu’il se déplace vers la droite, sa membrane pousse l’air en créant une surpression (elle “tasse” les molécules d’air). En se déplaçant ensuite vers la gauche, il crée une dépression (le vide laissé par la membrane “aspire” les molécules environnantes).

Chaque point du milieu reproduit au passage de l’onde la vibration générée par la membrane du haut-parleur, avec un certain retard \tau . Celui-ci dépend de la distance AB séparant les points et de la vitesse de propagation c de l’onde dans le milieu :

\tau = \frac{AB}{c}

Il s’ensuit la propagation d’une onde sonore qui va pouvoir mettre en mouvement une autre membrane, plus loin: le tympan de l’auditeur. L’oreille humaine est susceptible de détecter des féquences allants de 20 Hz à 20 kHz. La vitesse à laquelle la vibration se propage dépend des propriétés de l’air (température, humidité, masse volumique), mais elle vaut environ c \approx 340 \, \text{m/s}.

La courbe représentée au-dessus de la figure donne l’allure de la pression de l’air le long du parcours de l’onde (rappelons ici que l’unité internationale de la pression est le Pascal \text{Pa}. Dans cet exemple, elle correspond au cas le plus simple et le plus important de la physique des ondes : c’est une onde sinusoïdale.

Longueur d’onde

La pression le long de l’axe de propagation d’une onde sinusoïdale est périodique (elle est décrite par un motif qui se répète), la longueur de ce motif est appelée longueur d’onde et notée \lambda :

La longueur d’onde est la distance entre deux crêtes sur la courbe. Il est clair qu’elle correspond donc à la distance parcourue par la perturbation pendant une période de l’onde. On a ainsi :

\lambda = c \cdot T = \frac{c}{f}

On peut maintenant déterminer les longueurs d’onde extrêmes détectables dans l’air par l’oreille humaine :

• Pour les sons les plus graves, f=20 \hspace{0.1cm} \text{Hz} et : \lambda_\text{grave} = \frac{340}{20}=17\,\text{m}

• Pour les sons les plus aigus, f=20 \, \text{kHz} et : \lambda_\text{aigu} = \frac{340}{20\cdot 10^3}=17\cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}\text{m}=17\,\text{mm}

Equation d’onde

Nous noterons \rho_0 et P_0 la masse volumique et la pression de l’air en l’absence d’ondes sonores. Dans les conditions habituelles, on a \rho_0 = 1,18 \,\text{kg}\cdot\text{m}^{-3} et P_0 = 1,01 \times 10^5 \,\text{Pa}.

Nous nous placerons dans tout ce cours dans le régime des faibles signaux. On considèrera ainsi que les variations de masse volumique et de pression sont faibles par rapport à ces valeurs :

\left\{ \begin{array}{ll} \rho = \rho_0 + \rho\prime \\ P = P_0 + p \end{array} \right. \hspace{2cm} \text{avec} \hspace{2cm} \left\{ \begin{array}{ll} \rho\prime \ll \rho_0 \\ p \ll P_0 \end{array} \right.

Cette simplification sera justifiée par la suite, lorsque nous verrons que les surpressions maximales auxquelles nous aurons affaire en acoustiques sont plusieurs milliers de fois inférieures à la pression atmosphérique.

Conservation de la masse

Considérons un volume infinitésimal d’air. La masse étant une grandeur conservée, la variation temporelle de sa masse volumique ne peut s’expliquer que par le flux de masse traversant sa surface. En ne conservant que les termes du premier ordre, on peut donc écrire :

\displaystyle{ \boxed{\frac{\partial \rho\prime}{\partial t} + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{u} = 0}}

\vec{u} désigne la vitesse de l’air et \vec{\nabla}\cdot \vec{u} sa divergence. En coordonnées cartésiennes : \vec{\nabla}\cdot \vec{u} = \frac{\partial u_x}{\partial x} + \frac{\partial u_y}{\partial y} + \frac{\partial u_z}{\partial z}

Equation d’Euler

Considérons une paroi plane de surface A, en rouge sur l’illustration, vibrant dans l’air de masse volumique \rho autour de sa position d’origine d’abscisse nulle. Dans les conditions habituelles, la masse volumique de l’air est \rho_0 = 1,18 \,\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}. Nous nous intéressons aux vibrations d’une tranche d’aire comprise, au repos, entre les abscisses x et x+\text{d}x. Sa masse est \rho_0 \cdot A \cdot \text dx.

Notons les déplacements subséquents des deux surfaces délimitant la tranche d’air \psi (x, t) et \psi (x + \text{d}x, t). L’épaisseur de la tranche d’air est \text dx au repos et \text dx + \psi (x + \text{d}x, t) - \psi (x, t) à l’instant t.

Les forces s’exerçant sur la tranche d’air sont les forces de pression exercées sur ses deux faces, la deuxième loi de Newton donne donc :

\displaystyle{\rho_0 \cdot A \cdot \text dx \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = A\cdot p(x) - A \cdot p(x+\text dx)}

où u = \frac{\partial \psi}{\partial t} est la vitesse de l’air à l’abscisse x.

On obtient alors l’équation d’Euler (linéarisée) :

\displaystyle{\rho_0 \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{p(x+\text dx) - p(x)}{\text dx} }

\displaystyle{\iff \rho_0 \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x}}

La génaralisation à 3 dimensions est immédiate :

\displaystyle{\boxed{\rho_0 \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = - \vec{\nabla}p }}

où \vec{\nabla}p représente le gradient de p. En coordonnées cartésiennes : \vec{\nabla}p = \frac{\partial p}{\partial x}\vec{e}_x + \frac{\partial p}{\partial y}\vec{e}_y + \frac{\partial p}{\partial z}\vec{e}_z

Equation de propagation

La vitesse de déplacement du gaz apparaît dans l’équation de la conservation de la masse et dans l’équation d’Euler. Pour s’en débarrasser, prenons la dérivée temporelle de la première et la divergence de la seconde :

\displaystyle{\frac{\partial^2 \rho\prime}{\partial t^2} + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} = 0}

\displaystyle{ \rho_0 \cdot \vec{\nabla} \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}p = 0 }

Soit :

\displaystyle{\frac{\partial^2 \rho\prime}{\partial t^2} + \Delta p = 0}

où \Delta p désigne le laplacien de p. En coordonnées cartésiennes : \Delta p = \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial z^2}

Reste à relier entre elles pression et masse volumique. Il est clair que l’une dépend de l’autre. Dans l’approximation linéaire, un développement de Taylor au premier ordre donne :

\displaystyle{ P(\rho) = P(\rho_0) + (\rho - \rho_0) \left.\frac{\partial P}{\partial \rho} \right| _{\rho_0} }

\displaystyle{ \iff p = \rho\prime \left.\frac{\partial P}{\partial \rho} \right| _{\rho_0} }

La dérivée apparaissant dans le terme de droite a pour dimension M^2 T^{-2} : c’est le carré d’une vitesse. Nous posons alors c^2 \equiv \frac{\partial P}{\partial \rho}, nous obtenons p = \rho\prime \cdot c^2 et l’équation vérifiée par la pression s’écrit :

\displaystyle{ \boxed{ \Delta p + \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0 }}

Cette équation de propagation est l’équation fondamentale de l’acoustique linéaire.

Célérité des ondes acoustiques

La loi des gaz parfaits peut s’écrire P = \rho r T avec T la température en Kelvin et r = \frac{R}{M} = \frac{8,32}{0,029} = 287 \,\text{J }\,\text{kg}^{-1} \,\text{K}^{-1} est la constante spécifique de l’air (R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire de l’air)

Par ailleurs, les transformations subies par l’air en acoustique linéaire sont adiabatiques (elles sont trop rapides pour qu’un volume d’air puisse échanger de la chaleur avec son voisin). De telles transformations sont décrites par la loi de Laplace :

\displaystyle{ \frac{P}{\rho^\gamma} = \text{cte} }

où \gamma = 1,4 pour l’air, gaz diatomique. Ainsi :

\displaystyle{ \frac{P}{(\rho_0 + \rho\prime)^\gamma} = \frac{P_0}{\rho_0^\gamma} =\frac{rT}{\rho_0^{\gamma -1}} }

Au premier ordre, on obtient :

\displaystyle{ P=rT\rho_0 \left( 1 + \gamma \frac{\rho\prime}{\rho_0} \right) }

Notre définition de la célérité donne :

c = \sqrt{\frac{\partial P}{\partial \rho}} = \sqrt{\gamma rT}

L’application numérique à 20°C donne 343 m/s, en bon accord avec les résultats expérimentaux.

Solution sinusoïdale : l’onde plane

Les solutions générales de l’équation d’onde s’écrivent : p(r,t)=p_+(t-\frac{r}{c}) + p_-(t+\frac{r}{c})

Le premier terme représente une onde se propageant dans le sens des r croissants et le second une onde se propageant dans le sens des r  décroissants.

La solution simple d’une onde plane se propageant dans le sens des x croissants s’écrit :

p(x,t) = p_0 \cdot \cos \left[\omega \left(t - \frac{x}{c} \right) + \phi \right] = p_0 \cdot \cos \left(\omega t - kx + \phi \right)

Ainsi, tous les points du milieu de même abscisse (i.e. situés dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation) sont dans le même état vibratoire. On vérifie facilement que cette fonction est bien solution de l’équation d’onde.

• p_0 est l’amplitude de la perturbation ;
• \omega = 2\pi f est la pulsation, f est la fréquence de vibration de la source ;
• k = \omega/c = 2\pi / \lambda est le nombre d’onde, \lambda la longueur d’onde;
• \phi est la phase à l’origine

La notation complexe des fonctions sinusoïdales est plus facile à manipuler dans les calculs (dériver et intégrer une exponentielle est trivial): \alpha = A \cos{X} \rightarrow \underline \alpha = A \exp{(j X)} = A \cos X + j A \sin X. Le module |\alpha| = A correspond à l’amplitude, et son argument X à la phase du cosinus.

Notons \underline\alpha^* = A \exp{(-jX)} = A \cos X - j A \sin X le complexe conjugué de \underline\alpha. La partie réelle de \underline\alpha est alors : \alpha = \Re (\underline{\alpha}) = \frac{1}{2} (\underline{\alpha} + \underline{\alpha}^*)

La notation complexe de la surpression est :

\underline{p}(x,t) = \underline{p}_0 \cdot \text{exp} \left[ j \left( \omega t - k x \right) \right]

avec \underline{p}_0 = p_0 \cdot \exp{(j \phi)} l’amplitude complexe.

L’équation d’Euler nous permet d’en déduire la vitesse de déplacement du fluide :

\displaystyle{ \rho_0 \cdot \frac{\partial \underline{u} }{\partial t} = - \frac{\partial \underline{p} }{\partial x}\iff j \omega \rho_0 \underline{u} = jk \underline{p}\iff \underline{u} = \frac{\underline{p}}{\rho_0c}}

Notons ici que la vitesse est en phase avec la surpression.

Pression acoustique efficace

La pression acoustique efficace p_\text{eff} se calcule comme on calcule la tension efficace d’une source alternative, c’est la racine carrée de la valeur moyenne du carré de la surpression :

p_\text{eff}=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \Re(\underline{p})^2 \,\text{d}t}

On a donc : p_\text{eff}^2=\frac{1}{4T} \int_{0}^{T} (\underline{p} + \underline{p}^*)^2 \,\text{d}t = \frac{1}{4T} \int_{0}^{T} (\underline{p}^2 + \underline{p}^{*2} + 2 \underline{p}\underline{p}^*) \,\text{d}t

Les deux premiers termes sont des sinusoïdes de pulsation 2\omega : leur valeur moyenne sur une période est nulle. Le dernier terme est lui indépendant du temps, il sort de l’intégrale et l’intégrale restante, triviale, vaut T. Finalement :

\displaystyle{ \boxed{ p_\text{eff}=\sqrt{\frac{\underline{p}\underline{p}^*}{2}} }}

Dans le cas d’une onde plane, on obtient :

P_\text{eff}=\frac{P_0}{\sqrt{2}}

L’oreille humaine peut percevoir des ondes sonores dont la pression efficace est supérieure ou égale à p_\text{ref} = 20 \,\mu\text{Pa}. En deça, le système auditif n’est pas suffisamment sensible pour déclencher un signal nerveux.La sensation devient douloureuse pour p \geq 20 \,\text{Pa}.

Énergie transportée

Intensité sonore

L’intensité sonore I indique la puissance transportée par l’onde traversant une surface de 1\hspace{1mm}\text{m}^2 perpendiculaire à la direction de propagation. I s’exprime en \text{W}/\text{m}^2.

L’intensité sonore est donc égale au quotient de la puissance acoustique \mathcal{P} de la source et de la surface A sur laquelle elle s’étale :

\displaystyle{I=\frac{\mathcal{P}}{A} }

Or la puissance est :

\displaystyle{\mathcal{P} = \vec{F} \cdot \vec{{u}} = A\cdot \Re \left(\underline{p}\right) \cdot \Re \left( \underline{u}\right) }

Nous avons donc, en développant comme au paragraphe précédent :

I= \Re \left(\underline{p}\right) \cdot \Re \left( \underline{u}\right) = \frac{1}{4} \left[ \left( \underline{p} \underline{u}^* + \underline{p}^* \underline{u} \right) + \left(\underline{p}\underline{u} + \underline{p}^*\underline{u}^* \right) \right] = \frac{1}{2} \left( \Re(\underline{p}\underline{u}^*) + \Re(\underline{p}\underline{u}) \right)

Le deuxième terme oscille avec une pulsation 2\omega, sa valeur moyenne est donc nulle. Il reste :

\displaystyle{ \boxed{ I = \frac{1}{2} \Re(\underline{p}\underline{u}^*) }}

Dans le cas d’une onde plane, on obtient :

\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \Re(\underline{p}\frac{\underline{p}^*}{\rho_0 c})= \frac{p_\text{eff}^2}{\rho_0 c}}

Ainsi, le seuil d’autition (intensité sonore minimale perceptible par l’oreille humaine) est :

I_0=\frac{p_\text{ref}^2}{\rho_0 \cdot c}=1 \times 10^{-12} \,\text{W}/\text{m}^2

Par ailleurs, pour des intensités sonores douloureuses, de l’ordre de 1\, \text{W} \cdot \text{m}^{-2} (sirène d’urgence), on obtient comme pression acoustique efficace :

p_\text{eff}=\sqrt{I \cdot \rho_0 \cdot c} \approx 20 \, \text{Pa}

Cette valeur correspondant à 0,02% de la pression atmosphérique justifie que l’utilisation de l’acoustique des faibles signaux est tout à fait adaptée aux situations étudiées.

Ondes sphériques

Si l’onde plane est un cas limite intéressant, il est clair qu’elle est insuffisante pour décrire totalement le rayonnement d’une enceinte. La solution des ondes sphériques nous sera nécessaire et nous en donnons ici quelques résultats importants.

Nous nous plaçons en coordonnées sphériques. Si nous faisons l’hypothèse que la source sonore, placée à l’origine du repère, a un rayonnement isotrope, les grandeurs acoustiques ne dépendront que de leur distance à la source r. L’ensemble des points situés à même distance de l’origine auront donc le même état vibratoire.

Le laplacien figurant dans l’équation de propagation s’écrit avec ces simplifications : \Delta = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}

L’équation de propagation de la pression devient alors :

\frac{\partial^2 p}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial p}{\partial r} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0

En développant \frac{\partial^2(rp)}{\partial r^2}, on s’aperçoit qu’on peut réécrire :

\frac{\partial^2 (rp)}{\partial r^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 (rp)}{\partial t^2} = 0

Et la pression acoustique d’une onde sphérique est donc :

\displaystyle{\boxed{ \underline{p} = \frac{\underline{A}}{r} \exp{ \left[ j(\omega t - kr) \right] } }}

où \underline{A} est une constante à determiner en fonction des propriétés de la source sonore. La pression décroît donc comme 1/r.

L’équation d’Euler en régime sinusoïdal permet d’en déduire la composante radiale de la vitesse de l’air :

\displaystyle{\rho_0 \cdot \frac{\partial \vec{\underline{u}}}{\partial t} = - \vec{\nabla}\underline{p} \Rightarrow \underline{u}_r = -\frac{1}{j \omega \rho_0} \frac{\partial \underline{p}}{\partial r} = \frac{1}{j \omega \rho_0} \left( \frac{1}{r}+jk\right) \underline{p} = \left( 1 - \frac{j}{kr}\right) \frac{\underline{p}}{\rho_0 c} }

On retrouve l’expression de la vitesse de l’air d’une onde plane à la limite r \rightarrow +\infty \iff kr \gg 1 mais, plus proche de la source, la vitesse n’est plus en phase avec la surpression.

Calculons l’intensité sonore dans le cas d’une onde sphérique :

\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \Re(\underline{p}\underline{u}^*) }

\displaystyle{ I = \frac{1}{2} \Re \left[ \underline{p}\left( 1 + \frac{j}{kr}\right) \frac{\underline{p}^*}{\rho_0 c} \right] = \frac{\underline{p}\underline{p}^*}{2\rho_0 c} \Re \left( 1 + \frac{j}{kr}\right) = \frac{p_\text{eff}^2}{\rho_0 c}}

On retrouve donc la même formule simple que dans le cas des ondes planes.

La pression variant en 1/r, l’intensité sonore varie donc comme 1/r^2. Lorsque l’onde sonore se propage, l’énergie transportée se dilue sur une surface de plus en plus grande : l’intensité sonore diminue. On parle d’atténuation géométrique :

Si on multiplie la distance r à la source par deux, on multiplie la surface A par quatre: l’intensité sonore I est donc divisée par quatre.

Niveau sonore

Définition

Plus l’intensité sonore est élevée, plus le son est perçu comme fort ? Oui, mais … L’oreille humaine ne percevra pas comme deux fois plus fort un son dont l’intensité sonore est, justement, deux fois plus importante ! La sensibilité de l’oreille n’est pas linéaire, mais logarithmique.

Pour se rapprocher des sensations physiologiques liées au son, on définit le niveau sonore L :

L=10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}}

où I_0=10^{-12} \,\text{W} \cdot \text{m}^{-2} est le seuil d’audition. L’unité du niveau sonore est le décibel \text{dB}.

Ainsi, alors que les intensités sonores perceptibles par l’oreille humaine s’échelonnent sur plus de 12 ordres de grandeur, les niveaux sonores correspondant prendront des valeurs comprises entre 0 et 120\, \text{dB}. Par ailleurs, une augmentation de 2\, \text{dB} du niveau sonore provoquera la même sensation à l’oreille, quel que soit le niveau initial.

Variations du niveau sonore

Nous disions que l’intensité sonore était divisée par quatre lorsqu’on multipliait la distance à la source par deux: qu’advient-il du niveau sonore ?

L'=10 \cdot \log{\frac{I'}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{4\cdot I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}} - 10\cdot \log{4} = L -6

Ainsi, le niveau sonore diminue de 6dB lorsqu’on multiplie la distance à la source par 2.

Que devient maintenant le niveau sonore si on double la puissance de la source (ou que l’on accole deux haut-parleurs de même puissance) ?

L'=10 \cdot \log{\frac{I'}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{2 \cdot I}{I_0}} = 10 \cdot \log{\frac{I}{I_0}} + 10\cdot \log{2} = L +3

Lorsqu’on double la puissance, on augmente donc le niveau sonore de 3dB. De la même manière, il diminue de 3dB lorsque l’intensité sonore est divisée par deux.

Niveau de pression acoustique (dB SPL)

Si on injecte l’expression de l’intensité sonore I=p_\text{eff}^2 / (\, \rho \cdot c )\, dans la définition du niveau sonore, on obtient :

L=10 \cdot \log{\frac{p_\text{eff}^2}{p_\text{ref}^2}}=20 \cdot \log{\frac{p_\text{eff}}{p_\text{ref}}}

où p_\text{ref}=20 \,\mu\text{Pa} est la pression efficace minimale perceptible. Lorsque la pression acoustique efficace est divisée par deux, le niveau sonore diminue donc de 6dB.

Sensibilité de l’oreille humaine

Courbe de Fletcher

Les seuils définis ci-dessus sont déterminés pour la fréquence de référence f=1000 \,\text{Hz}. Mais l’oreille humaine n’est pas sensible de la même manière à toutes les fréquences, comme le montre le diagramme de Fletcher :

Les courbes représentées en bleu sont des contours de même niveau sonore perçu pour différentes fréquences (courbe isosoniques).

Par exemple, une note jouée à 100 Hz engendrant une pression acoustique de 30 dB SPL sera perçue à seulement 10 dB, donc nettement moins forte qu’un même niveau sonore à 1 000 Hz.

Décibel A – dB-A

L’échelle de niveau sonore correspondante, corrigée pour la sensibilité de l’oreille, est notée “dB-A”. Les corrections à apporter au niveau de pression acoustiques sont résumées sur la figure suivante :

On retrouve plus rapidement sur cette courbe le fait qu’à 100 Hz, il faut atténuer le niveau de pression acoustique de 20 dB : L_\text{dB-A, 100 Hz} = L_\text{dB-SPL, 100 Hz}-20.

Superposition de fréquences, spectres

Sons purs et complexes

Un diapason émet une onde sonore sinusoïdale : on parle de son pur. À l’inverse, la même note jouée par un piano n’est pas sinusoïdale : c’est un son complexe.

Spectre d’un son

Un résultat mathématique très important en traitement du signal est que tout signal peut être décomposé en une somme de sinusoïdes. On le sait déjà si on se remémore la dispersion de la lumière par les goutelettes d’eau dans un arc-en-ciel : l’onde lumineuse complexe de la lumière blanche solaire y est décomposée en une somme d’ondes lumineuses sinusoïdales (monochromatiques).

On voit cette décomposition sur le spectre de l’onde sonore. En abscisse figure la fréquence des sinusoïdes, en ordonnée leur amplitude. Sans surprise, le spectre de la note jouée par le diapason ne présente qu’un pic, puisqu’il suffit d’une sinusoïde pour obtenir l’enregistrement :

Par contre, le spectre du La joué au piano contient un grand nombre de pics :

Notons les points importants suivants :

• La fréquence du pic de plus basse fréquence correspond à la fréquence f_1 de la note jouée (ici f_1=440 \,\text{Hz}). Ce pic est appelé le fondamental.
• Les autres pics ont une fréquence multiple de celle du fondamental (2f_1=880 \,\text{Hz}\,;\, 3f_1=1320 \,\text{Hz}\,;\, ... \,;\,nf_1). Ils sont appelés harmoniques de rang 2, 3, …, n.

Enfin, dans un enregistrement réel, on observera à chaque instant une superposition de notes jouées par différents instruments ainsi que des “bruits” (percussions). Le spectre du son sera alors plus complexe à interpréter.

Timbre d’un instrument

Des notes indentiques jouées par des instruments différents ne provoquent pas à l’oreille la même sensation : on dit que leur timbre est différent. C’est la répartition relative des harmoniques dans le spectre de la note qui détermine le timbre, la “signature” sonore de l’instrument.

Conclusion

Dans cet article, nous avons défini les ondes sonores et étudié leurs caractéristiques principales ainsi que les grandeurs pertinentes pour les décrire et mesurer l’énergie qu’elles transportent. Les bases de l’acoustique linéaire sont maintenant posées.

Pour une application Hi-Fi, nous chercherons à obtenir un niveau sonore maximal d’environ L \approx 90\, \text{dB}, correspondant à une intensité sonore I \approx 10^{-3} \,\text{W} \cdot \text{m}^{-2} et une pression acoustique efficace P_\text{eff} \approx 0,65 \,\text{Pa} . Nous devrons aussi pouvoir produire du son sur une plage de fréquences aussi proche que possible de la plage 20 Hz – 20 kHz détectable par l’oreille, et ce avec une courbe de réponse la plus plate possible afin de ne pas favoriser certaines fréquences de l’enregistrement à diffuser.

Dans le prochain article, avant d’attaquer le haut parleur, nous étudierons le rayonnement acoustique de quelques formes simples.

Sources

• Mécanique – José-Philippe Pérez
• Le cours d’acoustique de ECAN Lyon