Cet article fait suite à l’study of the electroacoustic speaker. Nous verrons ici ce qu’il advient de ses propriétés et de son rayonnement lorsqu’il est intégré dans un caisson pour réaliser une enceinte.
- Résonance d’un haut-parleur monté dans un caisson
- Acoustic radiation
- Diffraction from the edges
- Conclusion
Résonance d’un haut-parleur monté dans un caisson
Pressure variations in the cabinet
Nous avons vu que l’émission en opposition de phase de la face arrière de la membrane crée des interférences destructives néfastes, en particulier dans le domaine des basses fréquences. L’intégration du haut-parleur dans un caisson a pour objectif d’éviter ce court-circuit acoustique : le rayonnement arrière est en effet supprimé.
Let V_0 le volume du caisson, enfermant de l’air à la pression atmosphérique P_0. Le volume d’air contenu dans le caisson étanche varie en fonction du déplacement de la membrane du haut-parleur de surface S : lorsque l’élongation de la membrane est x, le volume d’air est V=V_0 + \Delta V with \Delta V = S \cdot x. L’air subit ainsi des successions de compressions et de dilatations au cours des vibrations de la membrane.
Si on suppose, comme d’habitude, que ces transformations sont adiabatiques, il résulte de la loi de Laplace :
\displaystyle{ \frac{ \text d}{\text d V} \left( P\cdot V^\gamma \right) = 0 \iff \frac{ \text{d}P}{\text{d}V} = - \frac{\gamma P}{V} }
Hence, if the volume \Delta V swept by the membrane remains small compared to the total volume of the chamber V_0, la surpression résultante peut s’écrire :
\displaystyle{ p = - \frac{\gamma P_0}{V_0} \Delta V = - \frac{\gamma P_0}{V_0} S x }
Mechanical equation
Let's follow l’application de la deuxième loi de Newton au haut-parleur vue précédemment, we obtained the mechanical equation of the speaker:
(m + 2m_\text{R}) \cdot \ddot{x} + (\alpha + 2R_\text{R}) \cdot \dot{x} + k \cdot x = Bl \cdot i
Deux modifications doivent être réalisées dans la configuration de l’enceinte close :
- D’une part, le rayonnement arrière ayant été supprimé, le facteur 2 devant la résistance de rayonnement R_\text{R} disappears.
- D’autre part, la surpression p de l’air enfermé dans le caisson ajoute une force F dont l’expression est, d’après le résultat du paragraphe précédent : F = p\cdot S = - \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} x
Cette expression est celle d’une force de rappel F = - k_\text{a} \, x, with k_\text{a} = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} la raideur du volume d’air contenu dans le caisson.
Dans l’hypothèse où la surface de la membrane est petite en comparaison de la surface du panneau avant du caisson, la masse d’air déplacée à l’arrière de la membrane est sensiblement égale à celle déplacée à l’avant. La masse totale de l’équipage mobile restera donc m+2m_R
L’équation mécanique du haut-parleur monté dans un caisson est donc :
\displaystyle{ \boxed{ (m + 2m_\text{R}) \cdot \ddot{x} + (\alpha + R_\text{R}) \cdot \dot{x} + \left( k + k_\text{a} \right) \cdot x = Bl \cdot i }}
The behavior of the loudspeaker mounted in a closed box can therefore be deduced from that of the loudspeaker mounted on an infinite plane baffle by the substitutions :
- 2R_\text R \rightarrow R_\text R
- k \rightarrow k_\text{b} = k + k_\text a with k_\text a = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0}
Nous utiliserons l’indice b (pour « box ») pour toutes les grandeurs relatives au haut-parleur monté dans un caisson.
Resonance frequency
Following the approach we used for the speaker mounted on a plane baffle, we end up with the equivalent electrical diagram of the speaker mounted in a box:
La résistance et l’inductance motionnelles sont inchangées, mais la capacité motionnelle subit une modification :
\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ll} L_{\text{m,b}} = \frac{m +2m_\text{R}}{(Bl)^2}\\ R_{\text{m,b}} = \frac{(Bl)^2}{\alpha} \\ C_{\text{m,b}} = \frac{(Bl)^2}{k_\text b} \end{array}\right.}
Il s’ensuit que la résonance du circuit motionnel R,L,C en parallèle se produira à la pulsation :
\displaystyle{\left( \frac{\text{d}\underline{Z}_\text{mot}}{\text{d}\omega}\right)_{\omega=\omega_b} = 0 \iff \omega_b = \frac{1}{\sqrt{L_{\text{m,b}} \cdot C_{\text{m,b}}}} = \sqrt{\frac{k_b}{m + 2m_\text{R}}}}
Le numérateur de l’expression est plus grand que dans le cas d’un montage sur baffle plan, et le dénominateur est le même : la fréquence de résonance du haut-parleur est donc augmentée lors de son installation dans un caisson.
The speaker mounted in a cabinet will therefore have a higher bass cut-off frequency.
La perte d’émission dans les graves sera d’autant plus marquée que la raideur k_\text a de l’air contenu dans le caisson sera importante, celle ci augmentant lorsque le volume V_0 of the cabinet decreases. The crossover frequency of the speaker will be multiplied by \sqrt{2} when k_\text a = k. Ce seuil donne l’ordre de grandeur du volume minimal du caisson à utiliser.
Il est d’usage d’introduire ici le volume d’air équivalent à la suspension V_\text{as}, usually published in the loudspeaker manufacturer's data. The stiffness k du haut-parleur serait obtenue avec un volume d’air
\boxed{ \displaystyle{ V_\text{as} = \frac{\gamma P_0 S^2}{k} }}
To mount a loudspeaker in a closed cabinet without increasing the crossover frequency too much, you will need a cabinet volume at least a few times greater than V_\text{as}.
Example
Let's illustrate these words with a numerical example. Let's recall the manufacturer's data of the Monacor SP-165PA loudspeaker that we took as an example dans l’article précédent :
- Effective membrane area S = 137\times10^{-4}\,\text{m}^2
- Mass of the moving part (coil + membrane) m = 8,2\times10^{-3} \,\text{kg})
- Stiffness of the elastic suspension k = 4,0\times 10^{3} \,\text{N}\,\text{m}^{-1})
- Mechanical resistance of the suspension \alpha= 1,2 \,\text{kg}\,\text{s}^{-1}
- Coil's resistance R_e = 6.9\,\Omega
- Coil's inductance L_e= 0,50 \times10^{-3} \,\text{H}
- Force factor Bl = 7,1 \,\text{T}\,\text{m}
We have for this speaker \displaystyle{ V_\text{as} = 6,6 \,\text{L} }. If one chooses to mount it in a volume box V_0=40\,\text{L} \approx 6 V_\text{as}we will have : k_\text a = \frac{\gamma P_0 S^2}{V_0} = 6,7 \times 10^2 \,\text{N}\,\text{m}^{-1}
The total stiffness will be: k_\text b = k + k_\text a = 4,7 \times 10^3 \,\text{N}\,\text{m}^{-1}
And the resonance pulsation: \omega_\text b = \sqrt{\frac{k_b}{m + m_\text{R}}} = 654 \, \text{rad} \, \text{s}^{-1} = 1,08 \, \omega_0
The cutoff frequency will have increased by 8%, from 96 to 104 Hz.
Acoustic radiation
Transfer function
The equivalent acoustic diagram for the speaker mounted in a cabinet is :
- Excitatory pressure \underline{p}_g=\underline{P}_g \exp (j\omega t) with \underline{P}_g = \frac{(Bl)\cdot\underline{U}}{S\cdot R_e}, in units of Pascals.
- Acoustic flow \underline{q} = \underline{Q} \exp (j\omega t), in \text{m}^3/\text{s}
- Acoustic resistances, in units of \text{Pa}\cdot\text{s}/\text{m}^3:
- R_{ae}=\frac{(Bl)^2}{S^2 R_e} (electrical losses in the coil)
- R_{ab}=\frac{\alpha}{S^2} (frictional losses)
- Acoustic compliance, in units of \text{m}^3/\text{Pa} : C_{ab}=\frac{S^2}{k_b}.
- Acoustic mass, in units of \text{kg}/\text{m}^4 : M_{ab}=\frac{m + m_\text{R}}{S^2}
- Acoustic resistance of front radiation, R_{ar}=\frac{R_\text{R}}{S^2}
Let's call:
- \delta = \frac{\omega_b}{\omega_s} = 1,08 ;
- Q_{eb} =\frac{1}{\omega_b C_{ab}R_{ae}} the electrical quality factor ;
- Q_{mb} =\frac{1}{\omega_b C_{ab}R_{ab}} the mechanical quality factor ;
- Q_{tb} the total quality factor such that \frac{1}{Q_{tb}} = \frac{1}{Q_{eb}} + \frac{1}{Q_{mb}} .
Reprenons l’exemple du Monacor déjà étudié, monté dans un caisson de 40 L :
| Mounting on a flat baffle | Mounting in a 40 L box |
| \omega_s = 606 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1} | \omega_b = \delta \omega_s = 654 \, \text{rad}\,\text{s}^{-1} |
| Q_\text{es} = 1,1 | Q_{eb}=1,0 |
| Q_\text{ms} = 5,0 | Q_\text{mb} = 4,6 |
| Q_\text{ts} = 0,91 | Q_\text{tb} = 0,83 |
Les facteurs de qualité diminuent en intégrant le haut-parleur dans un caisson, et ce d’autant plus que le volume du caisson est petit.
L’expression du débit, obtenue en suivant la démarche exposée dans l’article précédent, est alors :
\displaystyle{ \underline{Q}_b = \frac{j\delta \nu}{( j \delta \nu)^2 +\frac{j \delta \nu}{Q_{tb}} + 1} \cdot \omega_b C_{ab} \underline{P}_g = \frac{j\delta \nu}{( j \delta \nu)^2 +\frac{j \delta \nu}{Q_{tb}} + 1} \cdot \frac{ \omega_s C_{as}}{\delta} \underline{P}_g }
where \nu = \frac{\omega}{\omega_s} is the reduced pulsation defined with respect to the resonance pulsation of the planar baffle speaker and where the second term has been rewritten according to the values of the planar baffle speaker.
Baffle step
When we studied the acoustic monopole, nous avons signalé qu’il modélisait de manière très satisfaisante le rayonnement d’une enceinte close aux très basses fréquences. En effet, la longueur d’onde étant supérieure aux dimensions L of the baffle (f < c / L), celui-ci est invisible pour les ondes sonores émises. Le rayonnement est alors isotrope dans tout l’espace.
Then we studied the model of the piston embedded on an infinite baffle, qui modélise bien le rayonnement d’une enceinte aux fréquences supérieures (f > c / L) : la longueur d’onde étant plus petite que le baffle du caisson, les ondes sonores le voient comme un baffle de grande dimension. Le rayonnement se fait alors principalement dans le demi-espace avant. Tant que la longueur d’onde est supérieure au rayon a of the loudspeaker, this radiation is also mostly non-directional.
In the transfer function obtained in the previous paragraph, it will therefore be necessary to use the monopole model for low frequencies and the baffled piston model for higher frequencies. The transition between these two models is called baffle step, or baffle step transition .
Radiated power in both models
La puissance rayonnée s’obtient à partir de la fonction de transfert de la même manière que nous l’avons obtenue pour le rayonnement du haut-parleur monté sur un baffle infini. La différence entre le rayonnement monopolaire (basse fréquence) et celui du piston bafflé (hautes fréquences) tient à la résistance de rayonnement R_R, which is doubled for the baffled piston. We thus obtain for the baffled piston:
\displaystyle{ { \mathcal{P}_{ar,b,\text{HF}} = \frac{\rho_0}{4\pi c} \left( \frac{\omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g}{\delta^2} \right) ^2 \left|\underline{H}_{P,b}\right|^2} \hspace{1cm} \text{avec} \hspace{1cm}\underline{H}_{P,b} = \frac{\delta^2\nu^2}{( j\delta\nu)^2 +\frac{j\delta\nu}{Q_{tb}} + 1} }
In the monopole case, we get twice as much:
\displaystyle{ { \mathcal{P}_{ar,b,\text{BF}} = \frac{\rho_0}{8\pi c} \left( \frac{\omega_s^2 C_{as} \underline{P}_g}{\delta^2} \right) ^2 \left|\underline{H}_{P,b}\right|^2}} = \frac{ \mathcal{P}_{ar,b,\text{HF}}}{2}
In the low frequencies, the maximum value of the radiated power is thus divided by 2\delta^4 par rapport au même haut-parleur monté en baffle plan. Afin d’optimiser la fréquence de coupure dans les basses et le niveau sonore, on aura donc tout intérêt à placer le haut-parleur dans un caisson de volume suffisamment grand pour que \delta close to 1.
The efficiency \eta_b of the loudspeaker mounted in a closed cabinet is calculated in the high frequencies, where \left|\underline{H}_{P,b}\right| \approx 1 : we thus have \eta_b = \frac{\eta_0}{\delta^4}. In our example, we get 0,6\%.
The sensitivity L_{1,b} de l’enceinte est quant à elle réduite de 10\cdot \log{\delta^4}, i.e. a drop of 1,3\,\text{dB} pour l’enceinte considérée : on obtient L_1 = 90,2\,\text{dB}.
Baffle step transition
At high frequencies, the sound waves are emitted in the front half of the cabinet. At a distance r de l’enceinte, la puissance émise se dilue sur une demi-sphère de surface 2\pi r^2 et l’intensité sonore est :
\displaystyle{ I_\text{HF} = \frac{ \mathcal{P}_{ar,b,\text{HF}} }{2\pi r^2}}
Aux basses fréquences, les ondes sonores sont émises dans tout l’espace, la surface sur laquelle se dilue l’énergie est donc 4\pi r^2. Then we have :
\displaystyle{ I_\text{BF} = \frac{ \mathcal{P}_{ar,b,\text{BF}} }{4\pi r^2} = \frac{I_\text{HF}}{4}}
La transition liée au phénomène de baffle s’accompagne donc d’une diminution de 6\text{dB} in the bass.
Sur quelles fréquences s’étale le phénomène de baffle ?
La diffraction est quantifiée par l’angle \theta d’étalement de l’onde. Pour l’obstacle de dimension L qu’est le caisson de l’enceinte, on a :
\theta = \frac{\lambda}{L}
Une onde émise par le haut-parleur le long du baffle sera significativement diffractée vers l’arrière dès lors que \theta \approx \frac{\pi}{4}. This corresponds to \lambda_1 \approx 0,7L. Le rayonnement deviendra isotrope dans l’espace lorsque \theta \approx 2\pi, that is \lambda_2 \approx 6 L. La fréquence de transition est celle pour laquelle l’atténuation est moitié de sa valeur maximale, soit :
f_\text{step} = \sqrt{f_1 f_2} = \sqrt{\frac{c^2}{\lambda_1\lambda_2} } \approx \frac{1}{2} \frac{c}{L}
f_1 \approx 3 \, f_\text{step}, f_2 \approx \frac{f_\text{step}}{3}
Or
\lambda_\text{step} = \frac{c}{f_\text{step}} \approx 2L
\lambda_1 \approx \frac{\lambda_\text{step}}{3}, \lambda_2 \approx 3 \, \lambda_\text{step}
On peut construire un bon modèle mathématique de la transition à l’aide d’une approximation bien connue de la Heavyside step function :
H(f) \approx 6 \times \left( \left( 1 + \exp{ \left( -2 k \ln{\frac{f}{f_\text{step}}} \right) } \right)^{-1} -1 \right)
with k=2 permettant l’étalement du phénomène sur l’intervalle \left[ \frac{f_\text{step}}{3} ; 3 \, f_\text{step} \right] :
Niveau sonore de l’enceinte close
Nous pouvons donc maintenant calculer l’intensité sonore aux hautes fréquences avec l’expression obtenue plus haut, en déduire le niveau sonore et prendre en compte la transition vers un rayonnement monopolaire aux basses fréquences en lui ajoutant la transition baffle step.
Pour notre enceinte de 40L, choisissons une profondeur du caisson de 25 cm et un baffle circulaire de 22,5 cm de rayon, le haut-parleur étant monté au centre de celui-ci. Je ne vous conseille pas une telle géométrie, mais elle permet de n’avoir qu’une unique dimension L=0,45 \,\text{m} à considérer. On obtient, avec un phénomène de baffle à 380 Hz s’étalant de 127 Hz à 1.14 kHz :
The green vertical lines indicate the cut-off frequencies at -3dB and the red ones the limits of the baffle step transition
La coupure haute-fréquence à 5500 Hz a été ajoutée artificiellement à partir des observations expérimentales de l’article précédent.
Notons tout de même que, dans un cas réel d’écoute dans une pièce, une fraction non négligeable des ondes sonores graves émises vers l’arrière de l’enceinte sera réfléchie par les murs, augmentant de fait le niveau perçu des basses. Le phénomène de baffle provoquera donc plutôt une diminution de 2 à 4 dB que de 6dB.
Notons aussi que, lorsque le caisson est rectangulaire, la transition sera adoucie du fait de fréquences de transition différentes pour les différentes tailles de l’obstacle vues par l’onde :
For example, for the same box volume of 40L and the same depth of 25cm, a rectangular baffle of dimension 30 \times 50 \,\text{cm} aura une transition de phénomène de baffle qui s’étendra de \lambda_1 \approx 0,7 \,L_{min}=21\,\text{cm} at \lambda_{max} \approx 6 \,L_{max}=3,0 \,\text{m}, that is:
f_{min}=114\,\text{Hz} \,\, ; \,\, f_{max}=1,63\,\text{kHz}, \,\,f_\text{step}=\sqrt{f_{min}f_{max}}=430\,\text{Hz}
Diffraction from the edges
The problem
On s’intéresse dans cette section au côté « hautes-fréquences » du phénomène de baffle : les ondes sonores sont supposées contraintes à se propager dans un demi-espace délimité par le baffle.
Considérons une onde sphérique. Le principe d’Huygens-Fresnel stipule que chaque point du milieu perturbé par l’onde devient lui-même une source élémentaire secondaire, la combinaison des perturbations générées par ces sources secondaires constituant le nouveau front d’onde :
Lorsque l’onde se propageant le long du baffle atteint sa périphérie, elle rencontre une discontinuité puisque le volume disponible pour sa propagation change : il passe d’une demi-sphère à une sphère. La pression chute d’un facteur 2 et les sources secondaires ne forment alors plus un ensemble cohérent avec leur prédécesseurs, il faut les considérer comme une nouvelle source. On parle de diffraction par le bord du baffle.
Du fait de leur déphasage, provenant du délai induit par la propagation jusqu’au bord du baffle, l’onde directe et l’onde diffractée interfèrent au point d’observation : la pression acoustique présentera des pics lorsque les ondes sont en phase et des creux lorsqu’elles sont en opposition de phase.
Cas d’un baffle circulaire
Dans un souci de simplification visant à se concentrer sur les effets physiques, nous nous restreindrons dans un premier temps au cas défavorable d’un baffle circulaire observé dans l’axe.
Nous nous intéressons ici au haute-fréquences : changeons donc notre haut-parleur d’étude pour un tweeter Dayton DC28FT de rayon a=14 \,\text{mm}, of resonance frequency f_s = 834 \,\text{Hz} and of total quality factor Q_\text{ts} = 0,50. Ce haut-parleur est monté dans une enceinte close, au centre d’un baffle circulaire de rayon R= 22,5 \,\text{cm}. Il n’y a pas de modification de la fréquence de résonance pour le tweeter : il est monté en usine dans un caisson étanche (le caisson servirait, dans un cas réel d’enceinte deux-voies, à supprimer le court-circuit acoustique du HP de graves).
Its theoretical response curve is then, taking into account the baffle step:
La distance parcourue par l’onde en atteignant le bord du baffle est égale aux rayon R of the baffle. The edge of the baffle thus behaves like a second source emitting at the same frequency as the loudspeaker but with a delay \tau = R/c, the time it takes to reach the edge of the baffle from its center.
L’onde directe se propageant dans un demi-espace a pour expression au point M :
\displaystyle{ p_0 = \frac{j \omega \rho Q_0}{2\pi} \cdot \frac{\exp{j \left( \omega t - k r_0\right) }} {r_0} }
L’onde diffractée émise par une source secondaire infinitésimale de longueur \text{d}\mathcal{l} = R\cdot \text{d}\varphi s’écrit quant à elle:
\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{j \omega \rho Q_0}{4\pi} \cdot \frac{ \exp{ \left[ j \left( \omega t - k \left(r_1+R\right) \right)\right]} } {r_1 + R} \cdot \frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }
where D(0) is the directivity factor of the speaker along the baffle.
In far field, we have r_1 \approx r_0 et la différence d’amplitude due à la distance parcourue supplémentaire R is negligible. Therefore:
\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }
L’intégration le long du cercle est triviale, finalement :
\displaystyle{ p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R \right)} }
La pression résultante au point d’observation est donc :
\displaystyle{ p = p_0 + p_1 = p_0 \left( 1 + D(0) \cdot \frac{1}{2} \exp{ \left(- jkR \right) } \right) }
Les ondes directes et diffractées interfèrent au point d’observation via le terme entre parenthèses ; la pression acoustique efficace est :
\displaystyle{ p_\text{eff} = \frac{ \left| p \right| }{\sqrt{2}} = p_{0,\text{eff}} \left( 1 + D(0) \cdot \frac{1}{2} \cos{ \left(kR\right) }\right) }
Les interférences seront constructives lorsque les ondes directe et diffractée sont en phase au point d’observation, i.e. lorsque k R = m \cdot2\pi with m a positive integer, that is \lambda = R/m or f = m c /R. The waves will be in phase opposition, generating destructive interference, when k R = \left( m + \frac{1}{2} \right) \cdot2\pi, that is \lambda = R/\left( m + \frac{1}{2} \right) or f = \left( m + \frac{1}{2}\right) c /R.
The speaker becomes very directional at high frequencies (ka >= 4, le phénomène s’estompe :
Les variations de niveau sonore sont donc de l’ordre de 10 dB au maximum (la pression variant d’un facteur 3 entre 0,5 et 1,5, l’intensité sonore varie d’un facteur 9 et 10 \times \log{9} = 9,5.
On peut maintenant calculer l’intensité sonore I=\frac{p_\text{eff}^2}{\rho c} and the resulting sound level:
The first trough, corresponding to \lambda / 2 = R, est masqué partiellement par le phénomène de baffle (la longueur d’onde est grande, le rayonnement de l’enceinte se fait donc quasiment sur une sphère et il y a peu de diffraction). La première bosse en fin de transition baffle-step correspond à \lambda = R then the next trough at \lambda = \frac{2}{3}R, etc.
Observons un agrandissement de la zone d’intérêt, en échelle linéaire de fréquence :
Les pics sont espacés d’environ 1500 Hz, la longueur d’onde correspondante est \lambda = \frac{c}{f} = 22,8\,\text{cm} : we can thus measure the radius of the baffle.
Notons ici que l’amplitude des variations sera amoindrie avec des arrêtes arrondies.
Off-axis observation
On se place maintenant hors-axe, dans un direction définie par l’angle \eta par rapport à l’axe de symétrie du baffle :
Un peu de géométrie permet de voir que la différence de marche supplémentaire de l’onde diffractée par rapport à l’onde directe est \delta = R \sin{\eta}\cos{\varphi}, the corresponding phase shift is \phi_0 = k\delta.
L’onde directe a donc pour expression :
\displaystyle{ p_0 = D\left(\frac{\pi}{2}-\eta\right) \cdot \frac{j \omega \rho Q_0}{2\pi} \cdot \frac{\exp{j \left( \omega t - k r_0\right) }} {r_0} }
Et on aura au point d’observation, pour source secondaire infinitésimale \text{d}p_1 :
\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k (R - \delta) \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }
L’onde diffractée par le bord du baffle est ainsi :
\displaystyle{ p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R\right)} \cdot \int_0^{2\pi} \exp{\left( j k R\sin{\eta}\cos{\varphi}) \right)} \frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }
L’intégrale dans le dernier terme est : J_0\left(k R \sin(\eta)\right), fonction de Bessel d’ordre 0 :
\displaystyle{ p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k R\right)} \cdot J_0\left(k R \sin(\eta)\right) }
En sommant l’onde directe p_0 (affected by the directivity factor D(\frac{\pi}{2}-\eta) et l’onde diffractée p_1, puis en calculant l’intensité sonore correspondante et en en déduisant le niveau sonore de la même manière que précédemment, on obtient les courbes suivantes :
On constate sans surprise que la diffraction par les bords est moindre hors-axe : en effet, les différentes sources secondaires sur le pourtour du baffle ne sont plus toutes en phase. Ce calcul montre que, lorsqu’on cherche à corriger les pics et les creux dans l’axe par un filtrage numérique, on génère de fait des pics et des creux hors-axe.
Rectangular baffle
Penchons nous dorénavant sur le cas plus concret du baffle rectangulaire, observé dans l’axe. Sa géométrie est résumée sur la figure suivante :
We have kept the dimensions of the box used in the calculation of the baffle phenomenon: L_1=50\,\text{cm}, L_2=30\,\text{cm}. The tweeter is located at the coordinates x_t = y_t = 20\,\text{cm}.
L’expression de l’onde directe est identique à celle obtenue dans le cas du baffle circulaire, et une source infinitésimale située à la coordonnée \varphi engendrera au point d’observation, avec les mêmes simplifications que précédemment :
\displaystyle{ \text{d}p_1 = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \exp{\left( -j k b(\varphi) \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} }
L’intégration se fait numériquement, par morceaux pour chacune des arêtes du baffle. Par exemple, pour l’arrête supérieure, on aura :
\displaystyle{ p_{1,\text{top}} = D(0) \cdot \frac{1}{2} \cdot p_0 \cdot \int_{\arctan{\frac{L_1-y_t}{L_2-x_t}}}^{\frac{\pi}{2}+\arctan{\frac{x_t}{L_1-y_t}}} {\exp{\left( -j k \frac{L_1-y_t}{\sin{\varphi}} \right)}\frac{\text{d}\varphi}{2\pi} } }
Le terme d’interférences a l’allure donnée ci-dessous.
We deduce the sound level of the loudspeaker mounted in the cabinet as above:
Comme on pouvait s’y attendre, les effets de la diffraction par les bords du baffle sont nettement moins prononcés qu’avec un baffle circulaire (les sources secondaires ne sont en effet jamais toutes en phase avec l’onde directe). Ici, comme pour le baffle circulaire, la mesure des écarts en fréquence des différents pics permet de déduire la distance entre le haut-parleur et les bords du baffle. Par exemple, les deux pics les plus visibles sur le graphe sont espacés de 3400 Hz, ce qui correspond à une longueur d’onde de 10 cm, distance séparant le haut-parleur du haut du baffle.
L’étude de la directivité est, elle aussi, réalisée par intégration numérique en ajoutant comme dans le cas du baffle circulaire la différence de marche supplémentaire \delta = b(\varphi)\cdot\sin{\eta}\cdot\cos{\varphi} :
Conclusion
Nous avons vu dans cet article les conséquences sur le rayonnement acoustique du scellement d’un haut-parleur dans un caisson : augmentation de la fréquence de résonance, phénomène de baffle et diffraction par les bords du baffle.
Un moyen possible de contrer l’augmentation de la fréquence de résonance et donc de la coupure grave du haut-parleur est d’intégrer un évent dans le caisson pour réaliser une enceinte bass-reflex. Le prochain article y sera consacré.
Sources
Francis BROUCHIER – Haut-parleurs et enceintes acoustiques : Théorie et pratique
Jean Fourcade – Utilitaires Scilab pour le calcul et l’optimisation d’enceintes bass-reflex
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